Diskussion einer Kurvenschar fa(x)=(a-1)/3·x^3-a·x

Question

hallo :) wir sollten zu dieser kurvenschar eine kurvendiskussion führen. dabei wollte ich fragen ob das as ich geerechnet hab richtig ist :)

nullstelle:

fa(x) = 0

0 = x (a-1 / 3  x^2 -a )         x1= 0

a = a-1 /3 x^2

a*3 / a-1 = x^2

x= wurzel aus (3a / a-1)

Extrema:

 fa'(x) = 0

0 = (a-1) x^2 -a

a = (a-1) x^2

a / (a-1) = x^2

wurzel aus (a/ (a-1) = x

fa''(x) ungleich 0

fa''( wurzel aus a/ (a-1) ) = 2 (a-1) wurzel aus a/ (a-1)     <- da kam ich nicht weiter :(

 

wendepunkt

fa''(x) = 0

0  = 2(a-1)x

0 = x

fa'''(x) ungleich 0

fa'''(0) = 2(a-1)  <- da kam ich auch nicht weiter :(

 

und noch eine aufgabe b)

Für welche a € R gibt es mehr als einen schnittpunkt mit der x- Achse?

gerechnet hab ich:

0 = a-1/3 x^3 -ax

ax = a-1 / 3 x^3       | : x

a = a-1 /3 x^2          | : a-1 /3

3a/a-1 = x^2             | *(a-1)

3a = x^2 a-1             | -a

2a  = x^2 -1              | : 2

a = x^2 -1 / 2

 

das war die ganze aufgabe :D

ich hoffe ihr könnt mir weiter helfen bzw. sagen ob ich das richtig gerechent habe :)

Comments

Hi, die Funktion kann eine, zwei oder drei Nullstellen haben, je nachdem, welchen Wert a hat. Das musst Du berücksichtigen.

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Also das heißt  ich muss x^ -1/2 die nullstellen ausrechnen ?

Answer 1

Bitte zunächst mal dafür sorge tragen dass deine Aufgabe richtig geklammert ist. Du meinst sicher:

f(x) = (a - 1)/3·x^3 - a·x
f'(x) = x^2·(a - 1) - a
f''(x) = 2·x·(a - 1)
f'''(x) = 2·(a - 1)

Wie lautet der Definitionsbereich für a? Eigentlich müsste man a = 1 hier herausnehmen, dann hätte man nur eine fallende Ursprungsgerade mit der Steigung -1.

Nullstelle ist richtig. Man bekommt allerdings 3 Lösungen. Oder hast du die eine Nullstelle wegen der Symmetrie weggelassen. Das ist Möglich aber dann sollte man vorher eine Anmerkung zur Symmetrie machen.

x = ±√(3a/(a - 1)) ∨ x = 0

Nur eine Nullstelle für

(3a/(a - 1)) ≤ 0
0 ≤ a < 1

Mehrere Nullstellen für

(3a/(a - 1)) > 0
a < 0 ∨ a > 1

Extremstellen f'(x) = 0

x = ±√(a/(a - 1))

f(√(a/(a - 1))) = - 2/3·a·√(a/(a - 1))

f''(√(a/(a - 1))) = 2·(a - 1)·√(a/(a - 1))
für a > 1 also ein Minimum

Wendestellen f''(x) = 0

2·x·(a - 1) = 0
x = 0

f(0) = 0 wurde bereits berechnet.

Comments

Meine Frage ist: Bei den Wendestellen, wie kommst du da von 2•x•(a-1)=0   auf   x=0 ?

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Nach dem Satz vom Nullprodukt wird ein Produkt Null, wenn einer der Faktoren Null wird. Daher müsste x hier null werden oder a = 1.

Aber für a = 1 hat man eine lineare Funktion und die hat keine Wendestelle.

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Ah stimmt, klar!

Ich danke dir :)

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Ich bin grad auf diese Aufgbae zugestoßen und habe eine Frage:

Nur eine Nullstelle für

(3a/(a - 1)) ≤ 0
0 ≤ a < 1

Mehrere Nullstellen für

(3a/(a - 1)) > 0
a < 0 ∨ a > 1

- Bei mehrer Nullstelellen (siehe oben) gibt es nur 2 Nullstellen oder?
- Und das ist nur die Antowort oder:  Wenn a>1 & a<0 ist, dann hat die Funktion mehrer Nullstellen oder?
Das braucht man nicht zu erwähnen oder?:

Nur eine Nullstelle für
(3a/(a - 1)) ≤ 0
0 ≤ a < 1

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- Bei mehrer Nullstelellen (siehe oben) gibt es nur 2 Nullstellen oder? 

Wie oben geschrieben gibt es dann insgesamt 3 Nullstellen.

Ja. Wo es nur einen Schnittpunkt gibt kannst du weglassen.

Answer 2

Ist denn a>1 oder zumindest a≠1, sonst gibt es eine Menge Probleme. Falls jam dann sieht alles ganz gut aus.

Allerdings solltest du dir angewöhnen Klammern zu setzen, wenn du die Brüche hier eingibst.

Ich nehme an deine Funktion ist:

fa(x) = ((a-1) / 3)* x³ - ax

 

2 (a-1) wurzel aus a/ (a-1)     <- da kam ich nicht weiter :(

Also zunächst ist

Wurzel aus () immer größer als Null, und dann je nach dem was a ist, ist das ganze >0.

fa'''(0) = 2(a-1)  <- da kam ich auch nicht weiter :(

wieder das gleiche, wenn a≠1, dann ist das ganze ≠0

Bei dem letzten Teil hast du dich dann mit deinem Klammernweglassen selbst überlistet:

0 = a-1/3 x³ -ax

ax = a-1 / 3 x³       | : x           Durch x zu teilen ist problematisch, da x = 0 sein kann.

a = a-1 /3 x²          | : a-1 /3  hier teilst du wohl durch (a-1)/3 was in Ordnung ist wenn a≠1 (siehe oben)

3a/a-1 = x²             | *(a-1)   und hier steht jetzt vorne im Nenner (a-1)


3a = x² a-1             | -a         jetzt multiplizierst du das a-1 wieder zurück, dann steht da 3a=x² (a-1)

2a  = x² -1              | : 2         und das stimmt jetzt nicht mehr!

a = x² -1 / 2

 

Probier das nochmal am Ende und überlege was du eigentlich ausrechnen willst. Wann gibt es denn mehrere Nullstellen?

Comments

Ich weiß nicht was ich sonst machen kann :( ??

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Also eigentlich warst du bei 3a/a-1 = x² bzw. 3a/(a-1)=x² schon fast fertig.

Du willst ja Nullstellen ausrechnen, und dafür willst du ja wissen was x ist.

Aus der Gleichung oben bekommst du jetzt x=√3a/(a-1)

Nun musst du überlegen was das heißt.

Für eine Wurzel, bzw. den Term unter der Wurzel, der auch Diskriminannte heißt, gibt es jetzt 3 Möglichkeiten, und je nach dem ändert sich auch die Anzahl deiner Nullstellen.

Kommst du drauf?

 

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Hmm also gibt es 2 nullstellen weil vor der Wurzel + / - steht??

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Naja, fast.

Es gibt 2 Lösungen wenn es dir Wurzel überhaupt gibt, das heißt wenn etwas positives darunter steht.

Dann kann es natürlich auch sein, dass was negatives drunter steht, oder Null. Was heißt das dann jeweils für die Nullstellen?