Man bestimme alle x ∈ ℝ, für die die folgenden Potenzreihe konvergieren

Question

Aufgabe:

Man bestimme alle \( x \in \mathbb{R} \), für die die folgenden Potenzreihe konvergieren (d.h. die Potenzreihen sind auch auf den Randpunkten des Konvergenzintervalls zu untersuchen):

(a) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^{n}}{n^{2}} \)

(b) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{7^{n} \sqrt{n}}(x+3)^{3 n+1} \)

(c) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n} \)

(d) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} x^{n^{n}} \).

Ansatz/Problem:

Soll ich einfach für jede Potenzreihe ein Kriterium (Quotienten, Minoranten/Majoranten, Integral) benutzen und sehen ob es konvergiert?

Comments

Du sollst den Konvergenzradius bestimmen und die entsprechenden Randpunkte (falls vorhanden) überprüfen. Dafür gibt es Kriterien, die ihr behandelt habt.

Answer 1

Bei a vielleicht Quotientenkriterium

(n+1)^2   /   n^2   =   ( n^2 + 2n + 1 ) /  n^2   =   1 + 2/n +  1/n^2

hat lim sup gleich 1, also ist 1 der Konvergenzradius.

Also konvergiert die Reihe sicher für x aus ] 1 ; 3 [ denn 2 ist ja der Mittelpunkt des Konvergenzintervalls.

für x=1 ( 1. Randpunkt ) w

hast du die Reihe mit den Reihengliedern

(-1)^n / n^2

und die konvergiert nach dem Leipniskriterium und für x=3 sind die Glieder 1 / n^2

und die konvergiert (glaube ich) gegen pi^2 / 6