Abbildung einer leeren Menge

Question

warum ist \( N^{\emptyset} =  \{ \emptyset \} \) für jede Menge \( N\)?

Um \( N^{\emptyset} \) zu bekommen muss ich alle Abbildungen der leeren Menge in eine Menge \(N\) rausfinden also \( \emptyset \rightarrow N\). Wie kann ich mir also eine leere Menge als Abbildung vorstellen? Meiner Meinung nach müsste \( N^{\emptyset} =   \emptyset  \), da ich keine Abbildung festlegen kann.

Answer 1

\( \mathsf{N}^\mathsf{M} \) ist die Menge aller Abbildungen von M nach N.

Eine Abbildung von M nach N ist eine Teilmenge von M×N.

Sei M=∅.

Dann ist M×N = ∅

Die einzige Teilmenge von M×N ist ∅.

∅ erfüllt die definierende Eigenschaft einer Abbildung von M nach N: zu keinem m∈M existieren n,n'∈N mit n≠n', so dass sowohl (m,n)∈∅, als auch (m,n')∈∅ ist. Damit ist ∅ eine Abbildung von M nach N.

Also ist ∅∈ \( \mathsf{N}^\mathsf{M} \). Da ∅ die einzige Teilmenge von M×N ist, ist  \( \mathsf{N}^\mathsf{M} \)={∅}.