In dieser Basis geschrieben, sind doch die beiden Matrizen f und g nix als wie Zahlen - eine reine Verständnisfrage, ob du überhaupt verstanden hast, was das ist: diagonalisieren ( Zahlen sind immer kommutativ )
Es ist recht eigentlich die Herangehensweise der Physiker in der QM. Alle Matrizen würden miteinander vertauschen, wenn man sie alle zusammen auf die selbe Basis diagonalisieren könnte.
Kann man aber nicht.
Und noch ein Punkt. Bitte mach dir a) REST LOS klar; weil das ist die Grundlage, auf der nachher die Punkte b) und c) abgefragt werden.
Zu b) Ich will doch ein bissele mehr sagen. Um ein Gegenbeispiel zu konstruieren, werden wir systematisch vorgehen. Es ist quasi wie bei einem Zaubertrick; um ein Gegenbeispiel zu bilden, müssen die Matrizen A und B von Vorn herein bestimmte patologische Voraussetzungen erfüllen. Bleiben wir doch ganz einfach und nehmen den Fall |R ² Da böte sich an, A = |1 = Einheitsmatrix, weil die ja mit allen vertauscht. Erstes Gegenbeispiel; ich setze B = B ( ß )
B = cos ( ß ) sin ( ß )
-sin ( ß ) cos ( ß ) ( 1 )
B ist die Matrix einer Drehung um den Winkel ß ; kennst du das? Solltest du aber. Solche Matrizen heißen übrigens ===> ortogonal oder ===> unitär; da es sich ja um eine Drehung handelt, ist sie ===> Winkel treu .
Als Erstes werden wir zeigen: Die Eigenwerte von B sind gar nicht reell ( was ja auch anschaulich ist. ) Kleine Hilfestellung; Ich weiß, dass ihr die Säkulardeterminante ( SD ) immer so voll kompliziert berechnet. Hier das geht doch ganz einfach. Gesucht das Polynom
f ( x ; B ) := x ² - p x + q ( 2a )
dessen beide Wurzeln die Eigenwerte E1;2 sind. Satz von Vieta
p = E1 + E2 = Sp ( B ) = 2 cos ( ß ) ( 2b )
q = E1 E2 = det ( B ) = 1 ( 2c )
f ( x ; B ) = x ² - 2 cos ( ß ) + 1 ( 2d )
Ich glaub jetzt fühlst du dich wieder zu Hause; Mitternachtsformel ( MF ) und Diskriminante.
Da wir ausdrücklich den Raum |R ² betrachten, beschränken wir uns hier auf reelle Eigenwerte; streng genommen müssten wir eigentlich sagen, B besitzt keine Eigenvektoren. Trotzdem vertauscht es mit A = Einheitsmatrix; äätsch - Gegenbeispiel ...
Genau so. Du würdest doch erst mal erwarten
B ( ß ) B ( µ ) = B ( µ ) B ( ß ) = B ( µ + ß ) ( 3 )
Hier hast du sogar eine ganze ===> Gruppe von Matrizen, die sämtlich untereinander vertauschen.
Versuch dich ruhig mal an dem Beweis von ( 3 ) ; Tipp. Schau mal in deiner Formelsammlung, was es da für Wunder schöne Additionsteoreme gibt.
Übrigens, in unserem Zusammenhang wird der ===> Fundamentalsatz der Algebra immer wieder wichtig. Da gibt es mehrere äquivalente Fassungen; etwa
" Jedes reelle Polynom besitzt eine komplexe Nullstelle. "
D.h. wenn wir B auffassen als Operator auf |C ² statt |R ² , können wir uns auf einmal die ganzen Eigenwerte schnitzen.
Wieder ein Standardschluss, den du dir gut einprägen solltest: Angenommen das reelle Polynom p ( x ) hat die ( komplexe ) Wurzel z0 Dann hat p automatisch auch die komplex konjugierte z0* .
Ich erinnere an das obige Beispiel ( 1;2a-d ) , wo das natürlich auch voll zu trifft. Komische Situation; gerade WEIL die Eigenwerte nicht reell sind, bekommst du zwei verschiedene - DIE MATRIZEN SIND DIAGONALISIERBAR ( Das wenn du versuchst zu verstehen, hast du wirklich verstanden, was Diagonalisieren ist. )
Und jetzt versuche nachzuvollziehen, was in c) behauptet wird. Zu Mindest auf |C ² hast du ja im Falle von ( 1 ) beide Eigenwerte; aus der Vertauschbarkeit ( 3 ) würde demnach folgen, dass DIE DIAGONALBASIS GAR NICHT VON DEM KONKRETEN WERT von ß abhängt. Starker Hammer ...
Das kannst du zu Fuß nachrechnen; mühsam ernährt sich das Eichhörnchen.
Und du gewönnest daraus nicht die mindeste Einsicht; es ruht alles darauf, dass du dich rein zufällig nicht verrechnest.
Schau mal in Wiki, was ===> Paulimatrizen sind. Da gibt es 3 Stück von, S1;2;3
Machj dir bitte klar, dass es sich bei Drehmatrix ( 1 ) um eine Linearkombination handelt aus Einheitsmatrix und S2 . Jetzt foge mal meinem Gedankengang.
Die Eigenvektoren von B sind genau die Eigenvektoren von S2 ( da ja jeder Vektor trivial Eigenvektor der Einheitsmatrix ist. ) In einem praktisch bedeutsamen Sonderfall konnten wir LMNTar Behauptung c) bestätigen ( und uns was drunter vorstellen. )
Mein Physikprof pflegte zu sagen
" Sie können nicht abstrahieren, wenn Sie nichts haben, wovon Sie abstrahieren können. "
Jetzt wäre doch gleich die nächste Vermutung: Die Umkehrung c) scheitert Regel mäßig daran, dass wir in dem Grundkörper die erforderlichen Eigenwerte nicht zur Verfügung haben. Stimmt leider auch nicht. Sei A die Einheitsmatrix wie gehabt und B
B := 0 1
0 0
Du kennst das jetzt; B besitzt den einzigen Eigenwert Null ( Aus der Determinante folgt E1 = 0 und aus der Spur E2 = 0 Wäre B diagonalisierbar, so müsste B die Nullmatrix sein.
Jetzt sind wir motiviert zu dem
Beweis von c)
Wir gehen erst mal davon aus, dass A einen Eigenwert E besitzt; den entsprechenden Eigenraum nenne ich U . Jetzt kommt ein Lemma, das kennen alle Physiker aus der QM Vorlesung.
B vertausche mit A ; Physiker schreiben das immer mit diesem ===> Kommutator .
[ A ; B ] = 0 ( 4a )
Behauptung: B ist Endomorphismus von U .
Sei x € U
A ( B x ) = B A x = E ( B x ) ( 4b ) wzbw
Nun sagt dieses Lemma an sich noch recht wenig aus; du siehst hier genau die beiden o.e. Hindernisse. Weder braucht B Eigenwerte besitzen noch diagonalisierbar sein selbst, wenn es welche besitzt.
Wenn du zusätzlich die Voraussetzung von n Eigenwerten hast, dann weißt du zweierlei. A ist diagonalisierbar; und die Eigenräume von A sind eindimensionale Strahlen. Betrachten wir beispielsweise Eigenwert E1 von A mit Eigenvektor e1 . Nach Lemma ( 4b ) ist e1 invariant unter B ===> e1 ist Eigenvektor von B .
