Lösungsmengen von nichtlinearen Gleichungssystemen

Question

ich hoffe ihr könnt mir helfen. Ich soll folgende Arten von nicht linearen Gleichungssysteme lösen:

(I) y² = 2x² + 1

(II)  (x + y) / (2x+1)  = 1

und

(I) (4x) / y = x+3

(II) 2y = x + 1

EDIT(Lu): Nötige Klammern gemäss Bild im Kommentar eingefügt und Gleichungen geordnet (2 Gleichungssysteme).

Von diesen vier Typen hab ich 2 DinA4 Seiten voll mit Aufgaben. Das problem ist, dass unser Lehrer uns kein Lösungsweg gibt, er meint das müssen wir schon können und soll nur eine Wiederholung sein. Das Problem ist, ich hab die Schule gewechselt und der Lehrplan scheint nicht parallel zu laufen. Ich hab das so noch nicht gemacht. Wäre nett wenn jemand mir zeigen kann, wie ich da am besten dran gehe. Alles hilft =) danke schonmal

Comments

Ok, dann mal eine Gegenfrage: Sind Zähler und Nenner, falls nötig, geklammert?

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Und gleich noch eine Anmerkung: Ich sehe zwei Variable und 4 Gleichungen.
Bitte stelle die Aufgaben richtig ein, zur Not auch mit einem ergänzenden Bild!

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So sieht die erste Zeile auf meinem Arbeitsblatt aus. Vielleicht ist das übersichtlicher.

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Ok, es sollen also wohl zwei Gleichungssysteme sein, jeweils bestehend aus den beiden linken bzw. den beiden rechten Gleichungen. Das wird in der Tat ein gebsatele. Hier das erste System, richtig geklammert und interpunktiert:

(1) y² = 2*x² + 1
(2) (x + y) / (2*x+1)  = 1

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Hier der Formalsatz:
$$ (1)\quad y^2 = 2x^2 + 1 \\\\ (2)\quad \frac {x + y} {2x+1}  = 1 $$\((2)\) wird zu \(y=x+1\) für \(x\ne-\frac 12.\) Das kann man dann in \((1)\) einsetzen.

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Nur zum Verständnis.

Bei (2) kürzt du vermutlich x raus. dann bleibt

y / x + 1 = 1

wie kommst du dann auf y= x+1 ? Und dann setzt du das y in die Urfunktion um nach x aufzulösen und dann setzt du das y und das x in (1) oder wie? Sorry für meine Doofheit :D aber es muss nur einmal richtig klick machen.

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Hi, ich habe nicht \(x\) herausgekürzt, sondern (in Gedanken) die Gleichung mit \((2x+1)\) multipliziert und danach \(x\) subtrahiert.

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Bist du so nett und könntest das kurz niederschreiben. Ich steh voll aufem Schlauch.

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$$\begin{aligned} (2)\quad \frac {x + y} {2x+1} &= 1\quad|\quad\cdot (2x+1)\\\,\\ x + y &= 2x+1 \quad|\quad -x \\\,\\ y &= x+1. \end{aligned}$$

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Hi, nach der Rechnung komme ich auf IL{ 0 , 1 } , soweit auch richtig. Laut Lösungsbogen vom Lehrer gibt es aber auch IL{ 2 , 3 }. Nur wie komm ich denn auf 2 und 3 ?

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Hi, nach dem Einsetzen bekommst Du eine quadratische Gleichung in \(x\), sie hat die Lösungen \(x=0\) und \(x=2\). Vielleicht hast Du irgendwie eine Lösung verloren? Einsetzen ergibt die zugehörigen \(y\)-Werte. Insgesamt besteht die Lösungsmenge aus zwei Zahlenpaaren:
$$ \mathbb{L} = \left\{(0,1), (2,3)\right\} $$

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Das ist im Grunde meine Rechnung. Ich checks nicht was ich einsetzen soll um auf 2/3 zu kommen. Welcher Schritt fehlt? hiiilfe :(

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Die Stelle, wo du die Wurzel ziehst ist Quatsch.

(2x+1)^2 ist im Allgemeinen ≠ 2x^2 + 1

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Wie sieht die richtige Alternative an der Stelle aus ?

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Du kannst nicht die Wurzel aus Summen ziehen! Löse stattdessen das Binom auf der linken Seite auf.

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Habs raus! :)

Answer 1

(I) (4x) / y = x+3

(II) 2y = x + 1 ----->(II)'  y = 1/2 * (x+1) einsetzen in (I)

(4x)/(1/2 * (x+1)) = x+3

(8x)/(x+1) = (x+3)

8x = (x+1)(x+3)

8x = x^2 + 4x + 3

0 = x^2 - 4x + 3

0=(x-3)(x-1)

x1 = 3, x2 = 1 einsetzen in (II)'

y1 = 1/2 * (3+1) = 2

y2 = 1/2*(1+1) = 1

L = {(3,2),(1,1)} 

Bitte nachrechnen und prüfen, ob du so nirgends im Nenner eine 0 hast. Wenn dem so wäre, müsstest du die entsprechende Lösung wieder streichen, da "Scheinlösung".

Kontrolle: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%284x%29+%2F+y+%3D+x%2B3++%2C+2y+%3D+x+%2B+1