Fläche zwischen 2 Funktionsgraphen

Question

Der Graph f (x)=x^4-4x^2+4 und die Tangente im Hochpunkt begrenzen eine Fläche.  Ermittle den Flächeninhalt.

Bin mir nicht sicher was gemacht werden muss und wie ich das Integral heraus bekomme. Denke mal das erst der Hochpunkt berechnet werden muss. Hab ich auch gemacht.

f'(x)=4x^3-8x

f''(x)=12x^2-8

Notw. Bed.       4x^3-8x=0 |x ausklammern                    x=0  oder    x1/2 = +/-1,41

Hinr. Bed.       F"(x) die werte einsetzen. F"(0)=-8 < 0 also Hochpunkt.  Die anderen beiden werte ergeben einen Tiefpunkt.

Y-Werte f (0)=4          HP (0|4)

dann habe ich mx+b gerechnet.    Y=mx+b

4=0*0+b      4=b

wie geht es denn jetzt weiter?

Answer 1

f (x)=x⁴-4x²+4
H ( 0 | 4 )
y ( x ) = 4

~plot~ x^4 - 4 * x^2 + 4 ; 4 ; [[ -6 | 6 | -1 | 5 ]] ~plot~

Comments

Schnittpunkt der Tangente mit der Funktion

f ( x ) = 4
x^4 - 4 * x^2 + 4 = 4
x^2 * ( * x^2 - 4 ) = 0
x = 0
und
x = 2

Nur die rechte Seite betrachet

Rechteckfläche
4 * 2 = 8
Abzugsfläche
∫ f ( x ) dx   zwischen 0 und 2 = 3.7333
8 - 3.7333

Und für die linke Seite noch mal 2.

Ich habs nachgeprüft : dadurch das die Funktion die
x-Achse nur berührt kann zwischen 0 und 2 integriert
werden.
Ansonsten getrennt 0 bis wurzel(2)
und
wurzel(2) bis 2

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Answer 2

Grenzen des Integrals: Nullstellen der Differenzfunktion

$$ 0= (x^4-4x^2+4)-4 $$

Achtung! Bei mehreren Schnittstellen ist jeweils auf die Orientierung der Teilflächen zu achten bzw. der Betrag der Teilflächen zu addieren, wenn nach der Fläche gefragt ist.

$$ A=| \int_a^b f(x)-g(x) \, dx |+| \int_b^c f(x)-g(x) \, dx|  +|\int_c^d f(x)-g(x) \, dx|  +\cdots $$

( spielt bei dieser Aufgabe hier keine Geige, aber man sollte schon mal davon gehört haben, wenn man seine Prüfung nicht vergeigen will )