b ist so zu bestimmen, dass der Realteil -1 ergibt. (Komplexe Zahlen)

Question

Aufgabe (Komplexe Zahlen):

b ist so zu bestimmen, dass der Realteil -1 ergibt.

\( \begin{aligned} Z_{3} &=\frac{\sqrt{2}}{b-j} * e^{j \frac{\pi}{4}} \\ Z_{3} &=\frac{\sqrt{2}\left(\cos \frac{\sqrt{2}}{2}+\sin \frac{\sqrt{2}}{2} j\right)}{b-j} \\ Z_{3} &=\frac{1+j}{b-j} \end{aligned} \)

Wie kann ich jetzt nach b auflösen?

Answer 1

bisher stimmt alles. Dann erweitern mit (b+1) Nenner und Zähler erweitern:

denn (b-i)(b+i) = b²+1 ergibt:

(1+i)/(b-i)= [b/(1+b^2)-1/(1+b^2)] + [(1/(1+b^2)+b/(1+b^2))] i

Der blaue Teil soll nun -1 werden.

Comments

Wenn ich mit der konjugiert komplexen Zahl erweitere,

erhalte ich folgendes:

(b+j+jb-1)/(b^2+1)

Wie kommst du auf die Rechnung mit dem Realteil und Imaginärteil?

Vielleicht kann ich es mit Unterstützung des Formeleditors eher nachvollziehen.

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Über Bruchstrich i ausklammern: (b+i*1+i*b-1) = i*(1+b) + b-1 nun hinteren Teil nach vorn und Nenner dazu:

[(b-1)/(1+b^2)] + [(1+b)/(1+b^2)] * i

ergibt quadr. Gleichung,

[(b-1)/(1+b²)] = -1  

dessen Nullstelle bekanntlich 2 Lösungen hat:

b1=

b2=

Nun alles klar?

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Danke, hab es jetzt verstanden. Aber auf den Lösungsweg muss ich ehrlich zu geben, wäre ich nicht drauf gekommen.