Der Vollständigkeit halber hier die Lösungen:
(i) MIt dem obigen Ansatz erhält man \(\lambda_{1,2} = -1 \pm i\sqrt{3} \). Damit sind \(y_1(t) = e^{(-1 + i\sqrt{3})t} \) und \(y_2(t) = e^{(-1 - i\sqrt{3})t} \) zwei linear unabhängige Lösungen und bilden ein komplexes Fundamentalsystem (ein reelles ist \(Re(y_1), Im(y_1) \) ).
Es folgt daher für den Lösungsraum \( \mathcal{L} = \{c_1 y_1 + c_2y_2 : c_{1,2} \in \mathbb{C}\} \).
(ii) Für die homogene Gleichung erhält man mit dem oben stehenden Ansatz \( \lambda_{1,2} = -1 \pm \sqrt{5} \) und damit sind \(y_1(t) = e^{(-1 + \sqrt{5})t} \) und \(y_2(t) = e^{(-1 - \sqrt{5})t} \) zwei unabhängige Lösungen. Der Lösungsraum der homogenen Gleichung ist somit \( \mathcal{L}_h = \{c_1 y_1 + c_2 y_2 : c_{1,2} \in \mathbb{R}\} \).
Eine partikuläre Lösung ist \( y_p(t) = -\frac{1}{4} (t^2 + t + 1) \) und damit ist der Raum aller Lösungen der inhomogenen Gleichung gegeben durch \( \mathcal{L} = y_p + \mathcal{L}_h \).
