$$ e^x\cdot e^x=2 \cdot e^x-e^{-x}\cdot e^x $$
$$ e^x\cdot e^x=2 \cdot e^x-\frac{1}{e^{x}} \cdot e^x $$
$$ s= e^x $$
$$ s\cdot s=2 \cdot s-\frac{1}{s} \cdot s $$
$$ s^2=2 \cdot s-\frac{s}{s} $$
$$ s^2=2 \cdot s-1 $$
$$ s^2-2 \cdot s+1 =0 $$
anstelle der etwas ungelenkigen und schwer auswendigzulernenden Peh-Kuh-Formel schreit hier die 2. binomische Formel nach er Anwendung!
$$ (s-1)^2 =0 $$
woraus unmittelbar die doppelte Nullstelle folgt:
$$ s-1 =0 $$
$$ s =1 $$
nun ist der Zeitpunkt der Resubstitution gekommen:
$$ s= e^x $$
$$ e^x =1$$
ohne nun den wissenschaftlichen Taschenrechner mit 3D-Display, Spracheingabe und Zerebralsurrogat in den Einsatz bringen zu müssen, sollte bekannt sein, das jede beliebige Basis, welche mit dem Exponenten 0 potenziert wird, zum Resultat "1" führt:
$$ x =0$$
Es empfiehlt sich bei Substitutionenen sicherheitshalber noch eine Proberechnung durchzuführen, um zu checken, ob nich was verschusselt wurde oder Definitionsbereiche bei der Umformung missachtet wurden. Dazu nimmt man die allererste Zeile noch ohne jegliche Umformungsbearbeitung her und setzt das vermutetete Ergebnis seiner Überlegungen ein:
$$e^x=2-e^{-x}$$$$e^0=2-e^{-0}$$
und ... passt's ?
