Überprüfen Sie, ob folgende Funktionen streng monoton wachsend oder fallend sind und berechnen Sie die Umkehrfunktion.

Question

Aufgabe:

Überprüfen Sie, ob folgende Funktionen streng monoton wachsend oder fallend sind und berechnen Sie gegebenenfalls die Umkehrfunktion:

\( f:(1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{1}{1-x}, \quad g:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=\sqrt[3]{x^{5}+2} \)

Ansatz/Problem:

Bisher habe ich folgendes gemacht:

g(x)= ³√(x⁵ +2)

y= ³√(x⁵ +2)          |()³

y³= x⁵ +2              |-2

y³-2= x^{5                   |5√}   x und y vertauschen

y= ⁵√(x³-2)

g^-1(x)= ⁵√(x³-2)      , stets <0 -> monoton steigend.

Answer 1

g ( x ) = ³√ (x⁵ +2)

g ( x ) = ( x^5 + 2 )^{1/3}
g ´( x ) = 1/3* ( x^5 + 2)^{1/3-3/3} * ( 5 * x^4 )
g ´( x ) = 1/3* ( x^5 + 2)^{-2/3} * ( 5 * x^4 )
g ´( x ) = 1/3 * 5 * x^4 * 1 / ³√ ( x^5 + 2 )^2

x^4 ist stets positiv oder 0
( x^5 + 2)^2 ist stets positiv oder 0
√ daraus auch

Ausnahmen
x = 0 => x^4 = 0  => g ´( 0 ) = 0
Trotzdem wäre die Funktion in diesem Punkt immer noch
streng monoton steigend.
siehe
https://www.mathelounge.de/239256/monotonie-einer-kubischen-funktion-zeigen
( meinen dortigen Kommentar )

x^5 + 2 = 0 => x^5 = -2  => x = -1.1487
würde eine Division durch 0 ergeben.
Die Steigung ist in diesem Punkt nicht definiert.
lim x −> -1.1487(+) = +∞

Ich hoffe ich konnte dir schon einmal weiterhelfen

~plot~  ( x^5 + 2 )^{0.3333333} ~plot~

Comments

Vielen Dank schon einmal.

Wie ist das denn dann für f(x)? Das habe ich überhaupt nicht hin bekommen.

Liebe Grüße

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f ( x ) = 1 / ( 1 - x )
f ( x ) = ( 1 - x ) ^{-1}

Nach der Potenz und Kettenregel
f ´( x ) = (-1) * ( 1 -x )^{-1-1} * ( -1)
f ´( x ) = ( 1 -x )^{-2}
oder
f ´( x ) = 1 / ( 1 - x)^2

Der Zähler ist stets positiv oder 0
1 - x = 0
x = 1
Bei x = 1 ist eine Polstelle. Deshalb ist die Ableitung und die
Funktion an dieser Stelle nicht definiert.

~plot~ 1 / ( 1 - x ) ~plot~

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Die Funktion ist im Bereich ] -∞ ; 1 [  und
im Bereich ] 1 ; ∞ [ streng monoton steigend.

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Der Zähler ist stets positiv oder 0

Erwähnenswert, wenn der Zähler konstant gleich 1 ist.

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Dann schreib direkt. Anstelle

Der Zähler ist stets positiv oder 0

muß es heißen

Der Nenner ist stets positiv oder 0