Vektorraum Basis bestimmen

Question

brauche Hilfe bei einer Aufgabe.

Es sind 4 Vektoren gegeben im R^4:

v1=(0, -1, 2, 1)^T, v2=(1, 0, 2, 1)^T, v3=(2, 1, 2, 1)^T, v4=(3, -1, 8, 4)^T

So nun soll man eine Basis von V bestimmen U=L(v1,v2,v3,v4))

und welche Dimension hat dann U

Meine Frage ist nun wie geht man hier vor.

Da alle Vektoren in der Linearen Hülle stehen (L=(v1,v2,v3,v4)), weiß man ja dass diese Vektoren ein Erzeugenden System bilden. Um eine Basis bilden zu können muss man sich ja dann nur noch vergewissern welche dieser Vektoren linear unabhängig ist. Sehe ich das richtig?

Noch eine allgemeine Frage, wofür steht das T im Exponenten bei den Vektoren?

Comments

Das \(^\mathsf T\) steht für transponiert. Üblicherweise schreibt man Vektoren als Spaltenvektoren.

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ok super danke, dann weiß ich das schon mal:)

Answer 1

Schreibe die Vektoren alle in eine Matrix und bringe sie auf
Stufenform, gibt z.B.
1,1,1,4
0,1,2,3
0,0,0,0
o,0,0,0
 dann siehst du
rang=2
Also hat die lin. Hülle die Dim 2.
Da nimmst du die ersten beiden, die
sind offenbar lin. unabh. und hast eine
Basis.

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Ok alles klar habe es ein bisschen umständlicher gelöst.

Eine frage noch zum LGS, wenn ich es auflöse komme ich auf

1, 1, 1, 4

0, 1, 2, 3

-1, 0, 0,-1

0, 0, 0, 0

Wie bekomme ich die -1 in der 3. Zeile weg, weil so hätte ich ja Rang 3 und somit 3. Dimension aber des wäre ja falsch

Hier nochmal mein komplettes LGS:

2,2,2,8

1,1,1,4  | *(-2) (Zeile 1 +2)    |*(-1) (Zeile 1 +3)

0,1,1,3

-1,0,1,-1                  |*2 (Zeile 1 + 4)

-----------------------

2,2,2,8      |/2

0,0,0,0

-1,0,0,-1

0,2,4,6          |/2

-----------------------------------

1,1,1,4

0,1,2,3

-1,0,0,-1

0,0,0,0