Betragsungleichung mit Punktprobe lösen

Question

Hi,

ich möchte die Betragsungleichung (|x - 2| = |x + 3|) mithilfe der Punktprobe lösen, weiß jetzt aber nicht, wie ich das genau machen soll.

Nach Fallunterscheidung erhalte ich für x = -0,5. Wo setze ich nun was ein, um ein Intervall zu bekommen?

Gruß

Comments

Ja sorry, die eigentliche Aufgabenstellung lautet

"Geben Sie L = {x ∈ R | |x − 2| ≥ |x + 3|} als Intervall an."

Habe aus dem >= ein = gemacht.

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Ok, gesucht sind also alle Zahlen x, die von 2 mindestens soweit entfernt sind wie von −3. Zeichne dir einen Zahlenstrahl und schaue, wo diese Zahlen liegen müssen.

Ich verstehe immer noch nicht, warum du unbedingt etwas einsetzen willst.

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Danke für die Antwort. Na ja, die Lösung lautet

"Löse die Gleichung |x − 2| = |x + 3| mit den beiden Fällen x − 2 =

+(x + 3) ⇐⇒ −2 = 3 =⇒ keine Lösung und x − 2 = −(x + 3) ⇐⇒
2x = −1 ⇐⇒ x = −1/2. Mit der Punktprobe x = 0 folgt 0 ∈ L und
L = (−∞, −1/2]."

Und ich wüsste einfach gern, was damit genau gemeint ist.

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Man hat einen Schnittpunkt herausgefunden

x = −1/2.

Jetzt kann die Lösungsmenge der Gleichung

|x − 2| ≥ |x + 3|

oberhalb oder unterhalb von x = -1/2 liegen

Also nehme man den Punkt x = 0 ( oberhalb )

|0 − 2| ≥ |0 + 3|
2 ≥ 3
falsch.
Mit der Punktprobe x = 0 folgt 0 ∈ L
( ist für mich falsch )

Setzen wir noch einen Punkt unterhalb ein x = -1

|-1 − 2| ≥ |-1 + 3|
3 ≥ 2
Richtig.

x < - 1/2

L = (−∞, −1/2]

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Dankeschön, das war sehr hilfreich.

Answer 1

Hi, das ist keine Ungleichung, sondern eine Gleichung. Gesucht sind diie Zahlen \(x\), die von \(2\) soweit entfernt sind wie von \(-3\). Zeichne dir einen Zahlenstrahl und verstehe die Aufgabe!

Was Du mit der Punktprobe willst und warum du ein intervall suchst, verstehe ich nicht.

Answer 2

| x - 2 | = | x + 3 |

Fallunterscheidungen sind bei dieser Aufgabe nicht notwendig.

( x - 2 )^2  = ( x + 3 )^2
x^2 - 4x + 4 =  x^2 + 6x + 9
10 x = -5
x = -1 /2

~plot~ ( x - 2 )^2  ; ( x + 3 )^2 ~plot~

Comments

Es bleibt aber beim Lösungsweg

( x - 2 )²  ≥ ( x + 3 )²
x² - 4x + 4 ≥  x² + 6x + 9
10 x ≤ -5
x ≤ -1 /2

( siehe auch die Skizze )