Trägheitsmoment einer Kugel bzw. Hohlkugel und die daraus entstehende Geschwindigkeit an der schiefen Ebene

Question

1. Berechnen Sie die Geschwindigkeit, die eine Eisenkugel mit 3 cm Durchmesser hat, nachdem

sie eine Rampe von 20 cm Höhe hinuntergerollt ist. Berechnen Sie die Geschwindigkeit der

Kugel, wenn sie die 20 cm hinunterfällt. Vergleichen Sie die beiden Ergebnisse miteinander

und erklären Sie den Unterschied.

2. Berechnen Sie die Geschwindigkeit einer 3 cm durchmessenden dünnwandigen Hohlkugel,

nachdem sie eine Rampe von 20 cm Höhe heruntergerollt ist. Vergleichen Sie das Ergebnis

mit dem Ergebnis der letzten Aufgabe. Erklären Sie den Unterschied.

Answer 1

Was hast du denn für relative Trägheitsmomente gefunden, nachdem du in der Tabelle nach den entsprechenden Körpern gesucht hast?

Die freien Fälle kannst du aber schon rechnen - was hast du da raus und wie war der Rechenweg dahin ?

Comments

Also die Trägheitsmomente habe ich gefunden.

Kugel:

Das Problem ist eher das Trägheitsmoment mit der Geschwindigkeit zu verbinden.

Was ich schon weiß ist, dass die Geschwindigkeit im freien Fall sicher höher sein muss.

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Ich schlage mal kostenlos und unverbindlich vor, folgende Formeln in den Ansatz miteinzubeziehen:

$$  M = J \cdot \alpha      $$Drehmoment= Trägheit mal Winkelbeschleunigung$$     E_\mathrm{rot}=\frac{1}{2}J\omega^2 $$ Rotationsenergie = halbe Trägheit mal Winkelgeschindigkeit im Quadrat
$$  M = F_A \cdot r      $$ Moment = Hangabtriebskraft mal Radius der Kugel

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Aber wie bekomme ich denn die Hangabtriebskraft, wenn ich garkeinen Winkel für die schiefe Ebene gegeben habe :-/

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Da ist was dran ... also der Winkel wird sich sicher nicht irgendwann einfach so rauskürzen lassen.

Leider habe ich grade ein T-Shirt an - daher kann ich keine Lösung aus dem Ärmel schütteln. Aber ich werde mich später nochmal melden, wenn ich mich umgezogen habe ...

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und? noch eine Idee bekommen?

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Ja - inzwischen habe ich das T-Shirt gewechselt ...

Es ist tatsächlich so, dass der Steigungswinkel der schiefen Ebene sich rauskürzt. Nehmen wir mal den einfachen Fall des reibungsfrei runterrutschenden Backsteins an:

$$W= F \cdot s $$

Die Hanghabtriebskraft beträgt $$ F_A=m \cdot g \cdot \sin \alpha$$

Die Länge der "Rutsche" $$ s= \frac h {\sin \alpha}$$

Das Produkt der beiden:

$$ W=m \cdot g \cdot \sin \alpha \cdot  \frac h {\sin \alpha}$$

gekürzt:

$$ W_=m \cdot g  \cdot   h $$

was nun wenig verwundert, denn das ist die potentielle Energie, die in kinetische umgewandelt wird, wenn der Backstein abgeht. Dieser Umstand sollte nun ja nicht von der Steigung der Rutsche beeinflusst werden, siehe Energieerhaltungssatz. (alles bei idealisierter Reibungsfreiheit)