Warum steht in der Lösungsformel plus und minus vor der Wurzel? und x^2 + x = 1 lösen

Question

Warum muss man immer ein Plus und Minus vor einer Wurzel schreiben, welche man in Quadratischen Gleichungen zieht?

Zusätzlich hätte ich noch eine Gleichung die ich nicht zu lösen weiß 

x²+x=1

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Noch ein Hinweis zu der Lösungsformel:
Am besten lernst du die auswendig, zusammen mit der allgemeinen quadratischen Gleichung.
Also:

(1) \( a x^{2}+b x+c=0 \)

(2) \( x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \)

Um die quadratische Gleichung mit der Formel lösen zu können, muss sie die Form (1) haben.

Answer 1

Hi

Beispiel: a^2 = 4;
Um das zu lösen zieht man die Wurzel und man erhält:
a = ±sqrt(4) = ±2;
Am besten setzt Du die beiden Ergebnisse nochmal ein:
für a = -2:   (-2)^2 = (-2)*(-2) = 4;
für a =  2:   2^2 = 4;
Sowohl -2 als auch +2 sind also eine Lösung, die die Gleichung erfüllen.

Nun mal ein Gegenbeispiel:
b^3 = 27;
Wurzel ziehen:
b = kubikwurzel(27) = 3;
Nehmen wir für einen Moment an auch -3 wäre eine Lösung -> einsetzen
b = -3: (-3)^3 = (-3)*(-3)*(-3) = -27; erfüllt also die Gleichung nicht.

Zur Erinnerung Minus mal Minus gibt Plus; wenn man also (-1)*(-1)*(-1) rechnet ergibt das -1.

x²+x=1
Es gibt mehrere Möglichkeiten das zu lösen:
Die Methode die immer funktioniert ist die Lösungsformel für quadratische Gleichungen:
https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung#Allgemeine_L.C3.B6sungsformeln

--> a-b-c-Formel

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Lösung mit a-b-c-Formel:

Allgemeine quadratische Gleichung:
ax^2 + bx + c = 0;
Vergleich mit Aufgabe:
x²+x=1; umformen
1*x² + 1*x -1 = 0;
a*x² + b*x + c = 0;
Koeffizientenvergleich (das heißt man vergleicht die beiden Gleichungen, genauer die Koeffizienten von x^2, x):
Man sieht:
a = 1;
b = 1;
c = -1;

Nun kommt die Lösungsformel ins Spiel:

Man setzt nun die Werte von a, b und c ein. Dabei muss man immer darauf achten, dass man die Form einhält. Das heißt, wenn man die Lösungsformel in dieser Form nutzen möchte, dann muss a auch der Faktor vor x^2 sein und b der Faktor vor x und c ohne x und die Gleichung muss auf der einen Seite eine 0 haben.

x_1,2 = [ -1 ± sqrt( 1^2 - 4*1*(-1) )  ]   /  [2*1]   = -1/2 ± sqrt( 1 + 4  ) /2 = -1/2 * ( 1 ± sqrt(5)  );

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ja stimmt! -4•-4=4 und +4•+4=4 ... hätt ich auch allein drauf kommen können :D dankeschön :)

Wenn jetzt aber -4 gewurzelt ;) werden soll, ergäbe es doch dann 2 oder?! 

Wie würde die Lösung bei 

x²+x=0 

aussehen?

Danke Dir :)

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nein... -Werte kann man nicht wurzeln, oder?

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zu sqrt(-4):
Da kommt es darauf an welche Definitionsmenge gilt. Wenn nur die reellen Zahlen zugelassen sind, dann gibt es keine Lösung für diese Gleichung, ganz einfach deshalb, weil es keine reelle Zahl gibt, die die die Gleichung erfüllt. Anders ausgedrückt, es gibt keine reelle Zahl, die mit sich selbst multipliziert eine negative Zahl ergibt.
Bei der kubikwurzel sieht das schon wieder anders aus. Allgemein kann man sagen bei ungeraden Wurzeln kann man auch negative Zahlen radizieren, bei geraden nicht, wenn nur die reellen Zahlen zur Verfügung stehen.
Erst wenn man die komplexen Zahlen verwendet kann man diese Gleichung lösen.

x²+x=0; umformen
x * (x + 1) = 0;
Man sieht wenn man x = 0 wählt ist die Gleichung erfüllt (0 mal irgendwas ist immer 0). Aber auch wenn man für x =-1 wählt ist die Gleichung erfüllt (-1 +1 = 0).

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Und wie sieht dafür der lösungsweg aus?

Hm, warum erkennt mein Taschenrechner keine komplexen Zahlen?

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Für komplexe Zahlen?
Naja, ich kanns Dir gern mal aufschreiben ist an sich nicht so schwer, ist aber die Frage ob Du das auch brauchst.

Also als Beispiel:
a^2 = -4;
a = ±sqrt(-4) = ±2*i;
i heißt imaginäre Zahl und für sie gilt: i^2 = -1.
Nun setzen wir wieder ein:
a = -2i: (-2i)^2 = (-1)^2 * 2^2 * i^2 = 1*4*(-1) = -4;
a = +2i: (2i)^2 = (+1)^2 * 2^2 * i^2 = 1*4*(-1) = -4;

Das kommt auf das Modell des Taschenrechners an. Bei meinem muss ich einen anderen Modus einstellen, damit ich komplex rechnen kann. Ansonsten rechnet der nur mir reellen Zahlen. Das liegt vermutlich daran, dass es aufwendiger ist mit komplexen Zahlen zu rechnen und da die Resourcen bei dem Taschenrechner begrenzt sind, wird eben normalerweise nicht komplex gerechnet. (Ist meine Vermutung)
Wenn Du mir mal dein Modell nennst, dann kann ich mal schauen ob Du mit dem komplex rechnen kannst.

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nein ich werde es wohl nicht brauchen

Aber schön es mal gehört zu haben. Mein Taschenrechner ist mein Handy;)

Okay , danke Dir :)