Darstellende Matrix bestimmen für L:...; a_(2)x^2 + a_(1)x + a_(0) -> 2a_(2)x+ a_(1)

Question

Aufgabe:

Gegeben sei folgende lineare Abbildung:

\( L: \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \longrightarrow \mathbb{R}_{\leq 2}[x] ; \quad a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0} \mapsto 2 a_{2} x+a_{1} \)

(a) Bestimmen Sie die darstellende Matrix \( L_{\mathcal{B}} \) von \( L \) bzgl. der Basis \( \mathcal{B}=\left\{1, x, x^{2}\right\} \).

(b) Bestimmen Sie \( L\left(2 x^{2}+3\right) \) mit Hilfe von \( L_{\mathcal{B}} \).

(c) Bestimmen Sie \( \operatorname{Bild}\left(L_{\mathcal{B}}\right) \), \( \operatorname{Bild}(L) \) und \( \operatorname{dim}(\operatorname{Bild}(L)) \).

Ansatz/Problem:

Mir fehlt der Ansatz um die darstellende Matrix zu bestimmen, wie gehe ich vor?

Comments

Das wurde heute (Nachmittag ?) schon gefragt, vielleicht liegt inzwischen eine Antwort zum Rest vor.

EDIT: Deine Matrix könnte stimmen.

Dann ginge es so weiter.

Matrix * Vektor = Vektor

Schematisch:

(0	1	0)	(3)	(0)
0	0	2)	(0)	(4)
(0	0	0)	(2)	(0)

Daher L(2x^2 + 3) = 4x

Answer 1

du kannst die Polynome wie sie oben beschrieben sind als Vektor \( \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \) auffassen. Das bedeutet für deine Abbildung:

$$ L (\begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} a_1 \\ 2a_2 \\ 0 \end{pmatrix} $$

Kriegst du es jetzt hin eine darstellende Matrix zu finden?

Gruß

Comments

Ehrlich gesagt nein, was mache ich jetzt mit der Basis?

---

Nix, die Basis wurde verwendet um zu sagen wie ein Vektor aussieht. Die darstellende Matrix kann man einfach ablesen sie ist:
\( L_B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)
Die Spalten der Darstellungsmatrix bestehen aus den Bildern der Einheitsvektoren.

---

Wie kann man Bild(Lb) rechnen?

---

Da braucht man wieder nichts zu rechnen. Das Bild wird von den Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix aufgespannt.