Gegeben ist die Funktion f mit f(x;y)=wurzel von x²+y². Ermitteln Sie g(x;y)=d²f/dx²+d²f/dy²

Question

Gegeben ist die Funktion \( \mathrm{f} \) mit \( \quad \mathrm{f}(\mathrm{x} ; \mathrm{y})=\sqrt{\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}} \)

Ermitteln Sie bitte die Funktion \( \quad \mathrm{g}(\mathrm{x} ; \mathrm{y})=\partial^{2} \mathrm{f} / \partial \mathrm{x}^{2}+\partial^{2} \mathrm{f} / \partial \mathrm{y}^{2} \) in möglichst einfacher (kompakter)
Darstellung.

Answer 1

Da bietet sich doch die Bildung der 2. partiellen Ableitung an, oder?

Comments

.Leider hab ich keinen Plan wie man diese hierbei anwendent ://

Answer 2

f(x,y) = √(x^2 + y^2) = (x^2 + y^2)^{1/2}

df(x,y)/dx = 1/2 * (x^2 + y^2)^{-1/2} * 2x

= (x^2 + y^2)^{-1/2} * x

d^2 f(x,y)/ dx^2 =  (x^2 + y^2)^{-1/2} * 1 + (-1/2)* (x^2 + y^2)^{-3/2} * 2x * x

= (x^2 + y^2)^{-1/2} * 1 -  (x^2 + y^2)^{-3/2} * x * x 

=(x^2 + y^2) * (x^2 + y^2)^{-3/2} -  (x^2 + y^2)^{-3/2} * x^2 

=(x^2 + y^2 -x^2) * (x^2 + y^2)^{-3/2}

=( y^2) * (x^2 + y^2)^{-3/2}

Aus Symmetriegründen (resp. analog) ergibt sich

d^2 f(x,y)/dy^2 = (x^2) * (x^2 + y^2)^{-3/2}

Daher

d^2 f(x,y)/dx^2 + d^2 f(x,y)/dy^2 = (x^2) * (x^2 + y^2)^{-3/2} + ( y^2) * (x^2 + y^2)^{-3/2}

= (x^2 +  y^2) * (x^2 + y^2)^{-3/2}

= (x^2 + y^2)^{-1/2}

= 1/√(x^2 + y^2)

Bitte nachrechnen und allfällige Druckfehler selbst beheben.

Darstellung: Alle d oben sollen ∂ sein.