Termumformung bei der Herleitung des Walis'schen Produktes?

Question

Hallo Forum MItglieder,

ich habe gerade einen Artikel über die Herleitung des Walis'schen Produkt gelesen und bin schließlich auf die folgende Äquivalenzumformung gestoßen, wo ich hoffnungslos verzweifelt. bin....

Was wurde nun gemacht, damit der rechte Term herauskommt?

Answer 1

Hi, man kann das durch Induktion zeigen.
Die Behauptung ist
$$ \frac{\prod_{k=1}^{2n} k}{ \left( \prod_{k=1}^n k  \right)^2 } = \frac{ \prod_{k=1}^n (2k) \prod_{k=1}^n (2k-1) }{ \left( \prod_{k=1}^n k  \right)^2} = \frac{  \prod_{k=1}^n (2k-1) }{\prod_{k=1}^n (2k)}2^{2n}  $$
Der I.A. ist leicht. Jetzt ist noch zu zeigen das gilt
$$  \frac{ \prod_{k=1}^{n+1} (2k) \prod_{k=1}^{n+1} (2k-1) }{ \left( \prod_{k=1}^{n+1} k  \right)^2} = \frac{  \prod_{k=1}^{n+1} (2k-1) }{\prod_{k=1}^{n+1} (2k)}2^{2(n+1)} $$
Das ist wegen der I.V. gleichbedeutend mit
$$ \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2} = \frac{2n+1}{2n+2}2^2  $$ die letzte Identität gilt aber, also gilt die Behauptung.

Comments

Wow, darauf wär ich nie gekommen. Aber vielen Dank!

Answer 2

keine Ahnung - ich komme so weit:

$$ \frac {(2n)!}{(n!)^2}= \frac {2 \cdot (n!) \cdot  ( 2n-1)!}{(n!)\cdot (n!)}  = \frac {2 \cdot  ( 2n-1)!}{n!}  $$

irgendwie mit der Gammafunktion kommt man da noch über nen Logarithmus zu einer Potenz, die da oben noch hinten drangebamselt ist, aber da stellt sich die Frage, ob das wirklich eine Vereinfachung sein soll.