Vollständige Induktion (n^3 + 5n)/3

Question

Ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

Zeigen Sie per Induktion:

n³ + 5n ist für alle n∈ℕ durch 3 teilbar.

Answer 1

Induktionsanfang:

$$ n=1 : 1^3+5 = 6 $$

Induktionsschritt: n -> n+1

$$(n+1)^3+5n+5 = n^3+3n^2+3n+1+5n+5 = n^3+3n^2+8n+6$$

Hier greift die Induktionsbehauptung:

$$n^3+5n$$ ist durch 3 teilbar.

Bleibt noch zu zeigen, dass $$3n^2+3n+6 $$ durch 3 teilbar ist.

Da hier aber nur Vielfache von 3 stehen, ist das trivialerweise erfüllt.