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Bild Mathematikdichtefunktion erwartungswert....finde keine Ansatz

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Vom Duplikat:

Titel: dichtefunktion erwartungswert Varianz

Stichworte: dichtefunktion,erwartungswert,stochastik


ich soll die angegebenen Aufgaben bearbeiten und finde weder Ansätze, noch Lösungen.


Blatt9.pdf (91 kb)

2 Antworten

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Also als Hörer einer Stochastik II Vorlesung ist Deine Fragestellung echt dürftig. Man sollte schon mehr können als nur ein Handy mit Fotofunktion bedienen können, das kann mein Enkel auch schon.

Was sind den die Eigenschaften einer Dichtefunktion? Schon mal was von Normierung gehört? Dann kann man \( c \) in Aufgabe (a) bestimmen.

Das berechnen eines Integrals sollte aus dem Abi bekannt sein, dann kann man (b) lösen.

Wenn man in der Vorlesung noch nicht eingeschlafen ist oder zulange am Handy gespielt hat, weiss man auch was eine Verteilungsfunktion ist, und mit den Kenntnissen der Integralrechnung auf niedrigen Niveau löst man dann Aufgabe (c)

Da ich vermute das dass alles nichts bringt, hier die Formel für den Erwartungswert \( E = \int_{-\infty}^\infty x f(x) dx \) wobei \( f(x) \) die Dichte ist. Aber warum schreib ich das alles?????

Mehr Infos gibt es bei mehr Eigenengagement

Avatar von 39 k

Hallo Ullim,

ich stehe auch gerade vor der Aufgabe und bin mir nur bedingt sicher, wie ich diese lösen müsste.
Bei (a) berechne ich das c dadurch, dass ich das Integral $$ \int_{2}^{3} f(x)dx = 1$$ berechne, richtig?

Für (b) würde ich FX(x) - also die Stammfunktion - mit dem vorher errechneten c berechnen.

Für (c1) würde ich mit Hilfe der Dichte die ℙ(X > 2,1) ausrechnen, also: $$ ℙ(X > 2,1) = \int_{2,1}^{3} f(x)dx $$, da im Intervall [-∞,2), (3,-∞] der Funktionswert 0 ist.

Analog dazu dann für (c2) über das Integral $$ \int_{2,1}^{2,8} f(x)dx$$

Beim Berechnen des Erwartungswertes und der Varianz tue ich mich irgendwie immer schwer, obwohl das eigentlich recht einfach zu machen sein sollten.
Da muss ich aber vorher glaube ich schauen, ob der Erwartungswert und die Varianz überhaupt existieren.
Ich würde das vermutlich über $$ µ = E(X) = \int_{-∞}^{∞}x*f(x)dx $$

und die Varianz über = $$ Var(X) =  \int_{-∞}^{∞}(x-µ)^2*f(x)dx $$


Komplett zu 100% sicher bin ich mir allerdings noch nicht.

Gibt es Dinge, die ich unbedingt vorher zeigen muss? Ich bin mir nie sicher welche Voraussetzungen ich prüfen muss, damit meine Argumentation/Berechnung in sich stimmig ist.


Beste Grüße

Ich hab dir a) jetzt mal gemacht. Kontrolliere und versuche weiter zu rechnen.

Das wäre mein Lösungsweg (ehrlich gesagt dauert mir das zu lange am PC einzutippen, deshalb die Bilder):IMG_0333.JPG

IMG_0334.JPG

Bei b) musst du die Integration erst bei x=2 starten. D.h. es fehlt noch eine Konstante, damit der "Rand" stimmt:

F(x) = 0 für x ≤ 2

Ausserdem

F(x) = 1 für x ≥ 3

Anmerkung: Lesbare Bilder von Rechenwegen stören mich keineswegs. Das hast du gut gemacht. 

ach mist.. stimmt.
die Verteilungsfunktion ist "links-seitig" des Intervalls, welcher mich interessiert immer 0 und "rechts-seitig" immer 1, oder? Also sowas (eigentlich mit Mengenklammer):
$$ F_X(x) = \begin{pmatrix} 0  & für & x<2 \\ x^2-4x  & für & 2<=x<=3 \\ 1 & für & x>3 \end{pmatrix} $$

und es ist x<2 statt x<=2 und x>3, oder macht das in dem Fall keinen Unterschied, da ich eh immer mit den entsprechenden "Randwerten" rechne?

Bei b) musst du die Integration erst bei x=2 starten.

Hast du ein Durcheinander mit den Integrationsvariabeln und den Integrationsgrenzen? Nenne die Integrationsvariable t im unklaren Bereich und bestimme dort

F(x) = Integral_(2)^{x} f(t) dt

Du kannst auch mit deinem F(x) ansetzen.

F(x) = x^2 - 4x + C

Bedingung F(2) = 0

C bestimmen.

[spoiler]

0 = F(2) = 2^2 - 4*2 + C = 4 - 8 + C ==> C = 4

Kontrolle

F(3) = 3^2 - 4*3 + 4 = 9 - 12 + 4 = 1 passt auch.

Somit

F(x) = x^2 - 4x + 4 für 2 ≤ x ≤ 3. 

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Dichtefunktion?

Integral_(unendlich)^{unendlich}  f(x) dx = 1

 c * Integral_(2)^{3}  (x-2) dx = 1

 c ( x^2/2  - 2x ) |_(2)^{3} = 1

 c ( 9/2 - 6 - (4/2 - 4)) = 1

c * ( 4.5 - 6 - 2 + 4) = 1

c * (0.5) = 1

==> c = 2.

Kontrolle: Skizze

~plot~ 2*(x-2);x=2;x=3 ~plot~

Die gewünschte Dreiecksfläche ist ein halbes Rechteck. Somit 2/2 = 1. Passt.

Weiter wie hier: https://www.mathelounge.de/449326/dichtefunktion-und-erwartungswert-varianz

Avatar von 7,6 k

Super, vielen Dank. So hab ich es auch ;-)

Gut. Dann kannst du, falls noch unklar, den Rest deiner Rechnung ja auch noch zeigen :)

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