Welche der Teilmengen sind Untervektorräume von Q³?

Question

Ich weiß nicht wie ich die Aufgabe lösen bzw. angehen soll.

Welche der folgenden  Teilmengen sind Untervektorräume von ℚ³:

a) M₁ = { (x,y,z) ∈ ℚ³ | xy - z = 0 }

b) M₂ = { (x,y,z) ∈ ℚ³ | x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 }

c) ... d)...

Wäre schön wenn man mir das an der ersten/zweiten Aufgabe vorrechnen könnte, also wie man da vorgeht.

Schonmal vielen Dank!

Answer 1

Nun ja:

Du musst eifach die Untervektorraumaxiome überprüfen:

1. M1 ist nicht leer

2. M1 ist abgeschlossen bezüglich der Vektorraumaddition

3. M1 ist abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation

 

Zu 1. M1 ist nicht leer, denn die erste komponente des vektors ist x=z/y (da wir in Q³ sind ist der bruch legitim ;D)

 2. komponente y=z/x 3. komponente z=xy. Es gibt also Lösungen im Q³ die diese Gleichung erfüllen.

Zu 2. Der Vektor (z/y,z/x,xy) + (z/y,z/x,xy)= (2z/y,2z/x,2xy) erfüllt die gleichung xy-z=0 im allgemeinen nicht und demnach ist M1 kein Untervektorraum

 

So wäre ich jetzt mal vorgegangen ;D

Answer 2

"Wäre schön, wenn man mir an der ersten oder zweiten Aufgabe vorrechnen könnte, wie man da vorgeht.." Im Allgemeinen gilt: Will man zeigen, dass U ein Untervektorraum von V ist, so muss man allgemein zeigen, dass U die drei oben genannten Kriterien für einen Unterraum erfüllt. Will man dagegen zeigen, dass U kein Unteraum von V ist und ist U nicht schon offensichtlich leer, so genügt es, ein konkretes Beispiel zu finden, dass eines der beiden letzten Unterraumkriterien verletzt. Man sucht sich also Vektoren aus U, die sich zu einem nicht mehr in U liegenden Vektor linear kombinieren lassen.

So ist etwa der Vektor (1,1,1) sowohl Element von M₁, als auch von M₂, während sein skalares Vielfaches −1*(1,1,1) = (−1,−1,−1) offenbar weder in M₁, noch in M₂ enthalten ist. Also kann U kein Unterraum von M₁ oder von M₂ sein.

Damit sind die Aufgaben a) und b) bereits erledigt. Du kannst Dir natürlich nun ähnliche oder auch andere Beispiele überlegen, warum U hier kein Unterraum der Mengen M_i sein kann.