"Wäre schön, wenn man mir an der ersten oder zweiten Aufgabe vorrechnen könnte, wie man da vorgeht.." Im Allgemeinen gilt: Will man zeigen, dass U ein Untervektorraum von V ist, so muss man allgemein zeigen, dass U die drei oben genannten Kriterien für einen Unterraum erfüllt. Will man dagegen zeigen, dass U kein Unteraum von V ist und ist U nicht schon offensichtlich leer, so genügt es, ein konkretes Beispiel zu finden, dass eines der beiden letzten Unterraumkriterien verletzt. Man sucht sich also Vektoren aus U, die sich zu einem nicht mehr in U liegenden Vektor linear kombinieren lassen.
So ist etwa der Vektor (1,1,1) sowohl Element von M1, als auch von M2, während sein skalares Vielfaches −1*(1,1,1) = (−1,−1,−1) offenbar weder in M1, noch in M2 enthalten ist. Also kann U kein Unterraum von M1 oder von M2 sein.
Damit sind die Aufgaben a) und b) bereits erledigt. Du kannst Dir natürlich nun ähnliche oder auch andere Beispiele überlegen, warum U hier kein Unterraum der Mengen Mi sein kann.