Funktionsgleichung 3. Ordnung; geg: Berührungspunkt und Tiefpunkt.

Question

hi Leute,

Ich habe leider eine Matheaufgabe die ich lösen sollte und komme leider nicht so ganz draus bei der sache.

Könntet ihr mir bitte helfen?

Die Aufgabe lautet wie folgt:

Bestimme die funktionsgleichung einer Parabel 3. Ordnung, die x-Achse in Punkt A(-1,0 berührt und im Punkt B(1, -4/3) einen Tiefpunkt hat.

Bestimme Nullstellen und Wendepunkt dieser Funktion. Zeichne den Graphen der Funktion. Stelle die Gleichung der Wendetangente auf.

Welche Fläche schliesst Graph dieser Funktion mit der x-Achse ein?

Vielen Dank

zohoo

Answer 1

Bestimme die funktionsgleichung einer Parabel 3. Ordnung, die x-Achse in Punkt A(-1,0 berührt und im Punkt B(1, -4/3) einen Tiefpunkt hat.

f(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d

f(-1) = 0
f'(-1) = 0
f(1) = -4/3
f'(1) = 0

-a + b - c + d = 0
3·a - 2·b + c = 0
a + b + c + d = - 4/3
3·a + 2·b + c = 0

Wir lösen das Gleichungssystem und erhalten: a = 1/3 ∧ b = 0 ∧ c = -1 ∧ d = - 2/3

f(x) = 1/3·x^3 - x - 2/3

Answer 2

f ( x ) = 1/3·x^3 - x - 2/3
f ´( x ) = x^2 - 1
f ´´( x ) = 2 * x

Bestimme Nullstellen ...
( -1 | 0 ) wird als Berührpunkt angegeben. Also
x = -1
für die 2.Nullstelle empfiehlt es sich die Polynomdivision durchzuführen
1/3·x^3 - x - 2/3 : x + 1 = ???
x = 2

und Wendepunkt dieser Funktion.
f ´´( x ) = 0 = 2 * x
x = 0
W ( 0 | -2/3 )

Zeichne den Graphen der Funktion.

~plot~ 1/3 * x^3 - x - 2/3 ~plot~

Stelle die Gleichung der Wendetangente auf.

t ( x ) = m * x + b
W ( 0 | -2/3 )
f ´ ( 0 ) = 0^2 - 1 = -1 = m
t ( 0 ) = m * 0 + b = -2/3
b = -2/3
t ( x ) = -1 * x - 2/3

Welche Fläche schliesst Graph dieser Funktion mit der x-Achse ein?

Stammfunktion bilden
∫  1/3·x^3 - x - 2/3 dx
1/3 * x^4 / 4 - x^2 / 2 - 2/3 * x
1/12 * x^4 - x^2 / 2 - 2/3 * x

Es ist die Fläche zwischen den beiden Nullstellen

[ 1/12 * x^4  - x^2 / 2 - 2/3 * x ] _-1²