Zwei Funktionen mit gleicher Ableitung bei gleichem Funktionswert

Question

ich habe folgende Frage:

Es sind zwei Funktionen f und g auf dem Intervall I=[a,b] mit a<b und der Bedingung

f(a)=g(a)=A und f(b)=g(b)=B gegeben. Man kann davon ausgehen, dass f und g stetig auf I und differenzierbar auf dem offenen Intervall I und streng monoton steigend sind.

Zu zeigen ist, dass für c,d ∈ I=]a,b[  mit f(c)=g(d) auch f'(c)=g'(d) existiert.

Das ist zumindest das, was ich meine aus der Aufgabe rausziehen zu können. Ich habe aber leider keinen Ansatz, wie ich z.Z Behauptung beweisen kann.

Answer 1

Ich versteh das nicht richtig. Nimm mal die Funktion \( f(x) = \sin(x) \) und \( g(x) = \frac{1}{2} \sin(x) \), dann gilt doch

\( f(0) = g(0) = 0 \) und \( f(\pi) = g(\pi) = 0 \) sowie \( f\left(\frac{\pi}{6}\right) = g\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{2} \)

man kann also \( a = 0, b=\pi, c=\frac{\pi}{6}, \text{ und }d = \frac{\pi}{2} \) setzen.

Aber \( f'(c)= \frac{\sqrt{3}}{2} \ne g'(d) =  0 \)

Das heisst doch, dass nicht gilt, was Du da hingeschrieben hast.

Schreib doch mal die ganze Aufgabe hin.

Comments

Danke erstmal für die Antwort.

Die Aufgabe ist, dass ein Wanderer an zwei Tagen zur gleichen Zeit  t1 in A losgeht und zur gleichen Zeit t2 in B ankommt. Die Strecke ist die gleiche. Man soll zeigen, dass es einen Punkt C zwischen A und B gibt, an dem er an beiden Tagen gleichschnell war.

Ich habe versucht das zu abstrahieren und daher kommen die beiden Funktionen f und g, wobei ich mir x als Zeit und f(x) bzw. g(x) als Strecke vorgestellt habe. Die Ableitung der Funktionen ist ja dann die Geschwindigkeit.

Zu deinem Beispiel: so wie ich das sehe dürfte man das auch nicht nehmen, da die Funktionen auf I=[0,pi] nicht streng monoton wachsend ist (der Wanderer soll ja auch wo ankommen und nicht wieder zurückgehen)

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Ja das mit der strengen Monotonie habe ich überlesen, sorry. Ich denk noch mal drüber nach und melde mich dann wieder.