Finde eines Einheitsvektors mit gleichem Winkel zu zwei vorhandenen Vektoren.

Question

Ich möchte drei Einheitsvektoren mit gleichem Winkel zwischeneinander aufstellen.

Wenn a = (1,0,0) und b = (cos(winkel), sin(winkel),0), wie bekomme ich dann den dritten Vektor c?

Danke, lost1000

Comments

Für 0 < φ < 90° gilt doch cos φ = cos ∠(u,v) = u·v / (|u|·|v|) = u·v für Einheitsvektoren.

Mit ∠(a,b) = φ muss für c = (cx , cy , cz) also gelten
φ = ∠(a,c), also cos φ = a·c = 1·cx + 0·cy + 0·cz = cx sowie
φ = ∠(b,c), also cos φ = b·c = cos φ·cx + sin φ·cy + 0·cz ⇒ cy =(cos φ - cos^2 φ) / sin φ und
cz = ±√(1-cx^2-cy^2)

Vorzeichen für andere Winkelbereiche von φ entsprechend anpassen.

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@lost1000: klicke auf das Bild

dann siehst Du oben links einen Schieber, mit dem Du den Winkel einstellen kannst, sowie die Berechnung des Vektors \(c\), wie es hj2166 schon beschrieben hat.

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Für 0 < φ < 90° gilt doch ...

Den Cosinus aus dem Skalarprodukt berechen (und umgekehrt) gilt für \(0\le \varphi \le 180°\) und mehr macht auch keinen Sinn.

und ein definiertes \(c\) bekommt man nach dem von Dir angegebenen Verfahren im Bereich von \(0° \lt \varphi \le 120°\). Größere Winkel sind per se nicht möglich.

Vorzeichen für andere Winkelbereiche von φ entsprechend anpassen.

folglich ist das unnötig.

Answer 1

Hallo

ich verstehe das vielleicht falsch, aber der dritte Vektor liegt doch auf der Winkelhalbierenden der 2 ersten? Die Wh liegt auf der Summe der zwei Vektoren also v1+v2 und wenn das Wieder ein Einheitsvektor sein soll  muss man noch normieren.

Gruß lul

Comments

... aber der dritte Vektor liegt doch auf der Winkelhalbierenden der 2 ersten?

es sei \(\angle(ab) = \alpha\). Wenn der dritte Vektor \(c\) auf der Winkelhalbierenden von \(a\) und \(b\) liegt, dann ist \(\angle(ac) = \angle(bc) = \alpha/2\).

Die Anforderung ist aber, dass \(\angle(ac) = \angle(bc) = \alpha\) sein soll.