Funktionenscharen und Nullstellen bei 2x^3 - 3kx^2 + k^3?

Question

Wie berechnet man die Nullstellen von folgender Schar:  2x³ - 3kx² + k³ ?

Wir sollen das Hornerschema anwenden denke ich, da wir noch keine Polynomdivision gemacht haben. Ich komme nur leider auf keine Zahl die ich einsetzen könnte so das 0 rauskommt. Gibt es da einen Trick wegen dem k? 

 

Freue mich über Hilfe! 

Comments

Hi, ein Tipp: Eine Nullstelle kann auch von k abhängen...

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Hi, danke, nur das hilft mir leider noch nicht richtig weiter..

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Ich wollte damit andeuten, dass man eine von k abhängende Nullstelle bereits durch (ggf. etwas längeres) Hinschauen erkennen kann, also praktisch ohne jede Rechnung.

Answer 1

Es ist

2*x^3 − 3*k*x^2 + k^3 =

2*x^3 − 2*k*x^2 − k*x^2 + k^3 =

2*x^2*(x − k) − k*(x^2 − k^2) =

2*x^2*(x − k) − k*(x + k)*(x − k) =

(2*x^2 − k*(x + k))*(x − k) =

(2*x^2 − k*x − k^2)*(x − k) =

(2*x^2 − 2*k*x +k*x − k^2)*(x − k) =

(2*x*(x − k) + k*(x − k))*(x − k) =

(2*x + k)*(x − k)*(x − k) = 0

Sieht man vorher die Nullstelle x=k, so kann
man sich daran beim Ausklammern orientieren.

Mich würde mal interessieren, wie Du
das mit dem Horner-Schema rechnest!