Zwei-Punkte-Form für lineare Funktionen bestimmen

Question

Suche Hilfe und Lösung für die Gleichung der Funktion mit folgenden 2 Punkten:

1. A(-2/-1);   B(3/4)

und

2. A(1/2);      B(7/5)

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Eine ausführliche Anleitung findest Du hier: http://mathenexus.zum.de/html/analysis/funktionen_lineare/weiterfuehrendes/LinFkt_2PunktForm.htm

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Auch steht dir ein Mathe-Programm zur Verfügung, bei dem du deine Punkte eingeben kannst. Es zeigt dir die Funktionsgleichung an sowie den Rechenweg :)

Für Aufgabe 2:

Answer 1

Um die Gleichung y=mx+b f ür die Punkte a(-2/-1) und b (3/4)  zu bestimmen setzt man  diese x und y-Werte in diese  Gleichung ein und erhält dann zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

-1=-2*m+b       |*(-1)       

 4=3*m+b                                                                                                                          

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1=-2m -b

4= 3m+b        | beide Gleichungen addieren, Additionsverahren    

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5=5m             ⇒    m=1     oben einsetzen

-1=-2*1+b      ⇒    b⇒1

y=x+1  oder f(x)=x+1          Probe sollte man auch noch durchführen.

Zweite Lösung geht fast genauso.

Answer 2

A(1/2) allg. A(x₁y₁);      B(7/5) allg. B(x₂/y₂)            

eine Anmerkung zur 2-Punkteformel 

Das ist eine Formel, in die man direkt die beiden Punkte einsetzen kann.

Ich weiss jetzt nicht, ob die gesucht oder bekannt ist.

Man könnte sie anhand der gegebenen Koordinaten auch herleiten.

Wenn du A und B im Koordinatensystem einzeichnest, kannst du die Steigung = Höhenunterschied durch Horizontaldistanz ablesen

m = 3 / 6 (= 0.5)       berechenbar als m = (5-2) / (7-1)    = ( y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) 

Zudem muss man die Punkte in die Gleichung einsetzen können in y = mx + q.

Also 

y₁ = m x₁ + q

Deshalb gilt q = y₁ - m x₁  = y₁ -  ( y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)  x₁ 

Setzt man m und q ein in y = m x + q

folgt

 y = ( y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) x +  y₁ - ( y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)  x₁               |- y₁

 y - y₁ = ( y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) x _-   ( y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)  x₁           | ( y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)  ausklammern

y - y₁ = ( ( y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) )  (x - x₁) 

In dieser Form mit m als Bruch kann man sich die 2-Punkteformel am einfachsten merken.

Wenn man nun 2 Punkte hat, kann man einfach die Koordinaten einsetzen. 

A(1/2) allg. A(x₁y₁);      B(7/5) allg. B(x₂/y₂) 

 

y - 2 = ( ( 5 - 3) / (7 - 1) )  (x - 1) 

und jetzt vereinfachen

y - 2 = (3/6) (x-1)

y - 2 = 0.5 (x-1)  = 0.5 x - 0.5                      | +2

y = 0.5x + 1.5