Ewas allgemeiner lässt sich der Zusammenhang zwischen dem bestimmten Integral einer umkehrbaren, integrierbaren Funktion \(u\) und dem bestimmten Integral ihrer Umkehrfunktion \(\overline{u}\) formal auch so herleiten:
$$ \int_{a}^{b}u(x)\,\text{d}x = \int_{a}^{b}1\cdot u(x)\,\text{d}x $$Partielles Integrieren rechts:
$$ \int_{a}^{b}u(x)\,\text{d}x = \Bigl[x\cdot u(x)\Bigr]_a^b - \int_{a}^{b}x\cdot u'(x)\,\text{d}x $$Ausschreiben der Stammfunktionsklammer und Ersetzen von \(x\) durch \(\overline{u}(u(x))\):
$$ \int_{a}^{b}u(x)\,\text{d}x = b\cdot u(b) - a\cdot u(a) - \int_{a}^{b}\overline{u}\left(u(x)\right)\cdot u'(x)\,\text{d}x $$Substituieren:
$$ \int_{a}^{b}u(x)\,\text{d}x = b\cdot u(b) - a\cdot u(a) - \int_{u(a)}^{u(b)}\overline{u}\left(z\right)\,\text{d}z $$Ist nun \(\overline{U}\) eine Stammfunktion von \(\overline{u}\), wäre das dann
$$ \int_{a}^{b}u(x)\,\text{d}x = b\cdot u(b) - a\cdot u(a) - \left( \overline{U}\left(u(b)\right)-\overline{U}\left(u(a)\right) \right). $$
Mit der letzten Zeile lässt sich beispielsweise auch \(\ln\) integrieren.
