Nullstelle berechnen von Charakteristischem Polynom komplexe Nullstelle?

Question

verzweifle gerade ein bisschen an 2 Matheaufgaben. Muss bei beiden die Nullstellen herausfinden.

Aufgabe 1

-λ^3-15λ^2-99λ+27=0

Aufgabe 2

-(λ^3/2)+24λ-52=0

Da ich durch Raten keine Nullstelle gefunden habe, konnte ich auch keine Polynomdivision durchführen. Vermute, dass es sich um komplexe Nullstellen handelt. Kann mir bitte jemand erklären, wie ich da vorgehen muss?

Comments

Sicher, dass die Polynome stimmen ?

Es gibt auch (aufwändige) Formeln für Gl. 3. Grades.

Google mal Cardanosche Formel.

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Denke schon. Bei Aufgabe 1 war die Matrix 5-λ  -4   2

-2  7-λ  -1

-9  18   -3-λ

Daraus folgt nach meiner Rechnung -λ^3-15λ^2-99λ+27

Die Matrix von Aufgabe 2 war

5-λ	3	-2
3	1-λ	-6
5	-3	-6-λ

die Matrix multipliziert mit 0.5. Mein Ergebnis wie oben schon gesagt -(λ^3/2)+24-52

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Auch wenn die Matrix zu einem anderen Polynom führt, als das der Ausgangsfrage -> findest Du hier einen Weg, wie man Polynome bis Grad 4 immer exakt berechnen kann:

http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

ergibt z.B.

x1= 2*(17+3 sqrt(33))^{1/3}-4/(17+3 sqrt(33))^{1/3}-5

= 0.262134076152458169425135830810487919151219785905903611444824...

Da diese PQRST-Formeln kein Lehrstoff sind, deutet das meist auf ein falsche Aufgabenstellung (Schreibfehler) hin.

Answer 1

Man findet nur eine reelle Nullstelle. Das kann über ein Näherungsverfahren geschehen. Taschenrechner rechnen die auch gleich aus.

- k^3 - 15·k^2 - 99·k + 27 = 0 --> k = 0.2621340761

Bei der nächsten findet man drei reelle Nullstellen über ein Näherungsverfahren.

- k^3/2 + 24·k - 52 = 0 --> k = 2.487221286 ∨ k = 5.341243015 ∨ k = -7.828464301

Ich nehme zum Nähern das Newtonverfahren, aber mein TR rechnet das wie gesagt noch so aus.

Comments

Danke. Dachte ich hätte was falsch gemacht, weil das so krumme Zahlen sind. :)

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Auf jeden Fall nicht beim berechnen der Nullstellen. Hattet ihr denn die Polynome bekommen oder Matrizen ? Oder musstet ihr das charakteristische Polynom erst bestimmen?

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Matrizen. Habe die gerade schon als Kommentar unter meine Frage geschrieben.

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Dann solltest du nochmals genau das charakteristische Polynom bestimmen.

DET([5 - k, -4, 2; -2, 7 - k, -1; -9, 18, -3 - k]) = - k^3 + 9·k^2 - 27·k + 27 = (3 - k)^3 = 0

Dreifache Nullstelle bei 3.

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DET([5 - k, 3, -2; 3, 1 - k, -6; 5, -3, -6 - k]) = - k^3 + 48·k - 128

Auch hier hast du das Polynom nicht richtig bestimmt.

Answer 2

Bei deiner 1. Matrix kriege ist Polynom

-x^3 +9x^2 -27x +27

und das hat eine Nullstelle bei x=3

Answer 3

Hi,

ich würde meinen beide Polynome sind falsch.

Bei Aufgabe 1 kommt  $$ -(\lambda -3)^3 $$ und bei Aufgabe 2 $$  -(\lambda - 4)^2 (\lambda + 8) $$ heraus. Jetzt kannst Du die Nullstellen einfach ablesen.

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Danke. Dann muss ich nochmal nachrechnen und meinen Fehler suchen.