Schnittpunkt zweier Geraden ohne Taschenrechner berechnen

Question

Ich würde mal gerne den Lösungsweg dafür wissen:

g1: 37x + 5y = 84

g2: 72x - 34y = 76

Irgendwie ist mein Lösungsweg nicht wirklich richtig. Wenn ich das versuche, kommen letztendlich Zahlen raus, die man nur schwer per Kopf ausrechnen kann. (Vielleicht habe ich ja nur irgendwo einen Fehler gemacht)

Answer 1

g1: $$37x + 5y = 84$$g2:$$ 72x - 34y = 76  $$g2:$$ 36x - 17y = 38  $$
---
g1: $$37x \cdot 17+ 5y \cdot 17= 84\cdot 17$$
g2:$$ 36x   \cdot 5 - 17y \cdot 5 = 38 \cdot 5  $$

g1+g2: $$37x \cdot 17+36x   \cdot 5+ 5y \cdot 17 - 17y \cdot 5= 84\cdot 17+38 \cdot 5 $$g1+g2: $$37x \cdot 17+36x   \cdot 5= 84\cdot 17+38 \cdot 5 $$

Zum Kopfrechnen zu arg - aber schriftlich noch zu bewältigen

Comments

Ja, so habe ich das ebenfalls ausgerechnet, was für mich etwas zu, wie du ja sagst, arg war, um es mit dem Kopf auszurechnen.

Ich dachte nur, dass Aufgaben, die man nicht mit dem Taschenrechner berechnen soll, auch dementsprechend leichter sein sollten, sodass man nicht noch Nebenrechnungen anstellen muss, um auf die Lösung zu kommen. Deswegen ging ich davon aus, dass ich wohl einen leichteren Lösungsweg übersehen haben muss, aber dies scheint wohl nicht der Fall zu sein.

Danke :)

Answer 2

Sodass wir nur eine unbekannte Variable haben, z.B. x, machen wir folgendes:

$$37x+5y=84 \mid \cdot 34 \\ 72x-34y=76 \mid \cdot 5 $$

$$37 \cdot 34 x+5 \cdot 34 y=84 \cdot 34 \ \ \ \ (1) \\ 72 \cdot 5 x -5 \cdot 34y=76 \cdot 5 \ \ \ \ (2) $$

$$(1)+(2) \Rightarrow (37 \cdot 34 +72 \cdot 5)x=84 \cdot 34+76 \cdot 5 \\ \Rightarrow (37 \cdot 2 \cdot 17 +2 \cdot 36 \cdot 5)x=84 \cdot 2 \cdot 17 + 2 \cdot 38 \cdot 5 \\ \Rightarrow 2(37 \cdot 17 +36 \cdot 5)x=2(84 \cdot 17 + 38 \cdot 5) \\ \Rightarrow (37 \cdot 17 +36 \cdot 5)x=84 \cdot 17 + 38 \cdot 5 \\ \Rightarrow (37 \cdot 17 +(2 \cdot 18) \cdot 5)x=2(42 \cdot 17 + 19 \cdot 5) \\ \Rightarrow (37 \cdot 17 +2 \cdot (17-1) \cdot 5)x=2(42 \cdot 17 + (17-2) \cdot 5) \\ \Rightarrow (37 \cdot 17 +2 \cdot 17 \cdot 5-2 \cdot 5)x=2(42 \cdot 17 + 17\cdot 5-2 \cdot 5) \\ \Rightarrow (17(37+2 \cdot 5)-2 \cdot 5)x=2(17(42 +  5)-2 \cdot 5) \\ \Rightarrow (17(37+10)-2 \cdot 5)x=2(17 \cdot 47 -2 \cdot 5) \\ \Rightarrow (17 \cdot 47-10)x=2(17 \cdot 47 -10) \\ \Rightarrow x=2$$

Wir setzen das x=2 in eine der beiden Gleichungen, z.B. in 37x+5y=84 dann haben wir folgendes: 
$$37 \cdot 2 +5y=84 \\ \Rightarrow 74+5y=84 \\ \Rightarrow 5y=10 \\ \Rightarrow y=2$$

Also ist der Schnittpunkt der Punkt P(2,2).

Answer 3

Wenn du ein immer funktionierendes Verfahren zur Lösung solcher
Aufgabenstellungen  suchst dann sieh dir bitte meine Antwort unter

https://www.mathelounge.de/251370/lineare-gleichungssysteme-variablen-gleichsetzungsverfahren?show=251383#a251383

Zum Schluß setze bitte die Lösungen in die Ausgangsgleichungen ein. Werden die
Aussagen wahr sind die Lösungen richtig. Auch wenn es krumme Zahlen sind.
Das nennt man die Probe.