Hyperbelschnittverfahren: Mit Entfernungsdifferenzen den Standort des Senders ermitteln

Question

Ich versuche gerade zu verstehen, wie das Hyperbelschnittverfahren bei einer Ortung funktioniert. Also, wie man das mathematisch umsetzen kann.. Sprich:

Ich habe drei Türme, die ein Signal zu einer unterschiedlichen Zeit erhalten. Durch die Zeitdifferenz der Signale kann man die Entfernungsdifferenz des Senders zu den Türmen errechnen und über die Entfernungsdifferenzen den Standort des Senders ermitteln. Das klingt auch logisch und mit einem Zirkel funktioniert das auch ganz gut. Aber wie funktioniert das, wenn man das zum Beispiel programmieren will?

Answer 1

Mit Hilfe der Ausbreitungs-Geschwindigkeit der Signale kannst Du die Differenz-Abstände bestimmen.

Ich würde zur Vereinfachung die drei Türme auf eine Gerade setzen, und zwar sei dies die x-Achse. Alle Punkte, die die gleiche Differenz der Abstände zu jeweils 2 von diesen Türmen haben, liegen auf einer Hyperbel. Auf diese Weise bekommst Du 2 Hyperbel-Gleichungen.

Die Hyperbel-Gleichungen haben die Form x² /a² - y²/b² = 1        

Wenn man die ganzen Abstände einsetzt ist es x² /a² - y²/b² = 1/4    wobei b² = e² - a²

a ist jeweils die Differenz der Abstände, die Du wegen der Signale kennst. e wäre der gegebene Abstand zwischen 2 Türmen. Bei dieser Gleichung ist die y-Achse in der Mitte. Bei Dir wäre der eine Turm z.B. an der Stelle x=0, das bedeutet, Du muss noch eine 'Verschiebung' der x-Werte einmal nach links und einmal nach rechts durchführen.

Du bekommst dann so etwas: (x+c)² /a₁² - y²/b₂² = 1/4 und (x-d)² /a₂² - y²/b₂² = 1/4

Um den Schnittpunkt zu bestimmen, setzt Du die beiden Hyperbelgleichungen einander gleich und erhältst so die x-Koordinate des gesuchten Punktes. Für die y-Koordinate in die eine Hyperbel-Gleichung einsetzen