Differentialgleichungssystem lösen

Question

Wie kann ich das System y1'(x)=y2(x)+1 und y2'(x)=y1(x)+sin(x) lösen?

Answer 1

Betrachte stattdessen die Differentialgleichungen für

$$u = y_1 + y_2 \\ v = y_1 - y_2.$$

Sie lauten:

$$u' = y_1' + y_2' = y_1 + y_2 + 1 + \sin(x)\\ u' = u + 1 + sin(x)$$

und

$$v' = -v + 1 - sin(x)$$

So sind die Differentialgleichungen also entkoppelt und können wie zwei separate lineare, inhomogene Differentialgleichungen gelöst werden.

Anschließend erhält man die gesuchten Funktionen mittels

$$y_1 = \frac{u+v}{2} \\ y_2 = \frac{u-v}{2}$$

Answer 2

Folg. Weg:

1.) Bestimmung der Eigenvektoren (Lösung:-1 und 1)

2.)y_1= C_1 e^-t +C_2 e^t

3.)y_2 =1/a(12)  *(y' -a(11) *y_1)

a(11) und a(12) werden aus der Aufgabe abgelesen.

4.)Ansatz für die part. Lösung (Hinweis: es ist eine Summe)

y(1p)=

y(2p)=

y(1p)'=

y(2p)'=

5.)Einsetzen der 4 Ausdrücke in die Aufgabe

6.)Koeffizientenvergleich

7.Y=y(h) +y(p)

Comments

Konkret sieht das so aus:

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und hier der 2. Teil: