Aufgabe 15.
(a) Warum gibt es keine Funktion \( f: \mathrm{R}^{2} \rightarrow \mathrm{R} \) der Klasse \( C^{2} \) mit
$$ \begin{array}{c} {\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)=x^{4}+x^{3} y \text { und } \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)=x^{4}+y^{2}+1} \\ {\text { für alle }(x, y) \in \mathrm{R}^{2} ?} \end{array} $$
Folgern Sie, dass es überhaupt keine partiell differenzierbare Funktion mit dieser Eigenschaft gibt.
(b) Finden Sie alle partiell differenzierbaren Funktionen \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \) R mit
$$ \begin{array}{c} {\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)=x^{4}+x^{3} y \text { und } \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)=\frac{1}{4} x^{4}+y^{2}+1} \\ {\text { für alle }(x, y) \in \mathrm{R}^{2} .} \end{array} $$
Aufgabe 16. Sei \( f: \mathbf{R}^{2} \rightarrow \) R definiert durch:
$$ f(x, y):=\left\{\begin{array}{ccc} {\frac{x y\left(x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}} & {\text { für }} & {(x, y) \neq(0,0)} \\ {0} & {\text { für }} & {(x, y)=(0,0)} \end{array}\right. $$
Zeigen Sie, dass \( f \) in ganz \( \mathrm{R}^{2} \) zweimal partiell differenzierbar ist und dass \( D_{1} D_{2} f(0,0) \neq \) \( D_{2} D_{1} f(0,0) \)
Ansätze:
Bei 15a) frage ich mich was ich da zeigen soll denn die partiellen ableitungen der Funktion:
f(x,y) = 1/5 x5 + 1/4 x4 y + 1/3 y3 + y
ergeben genau das was da steht. Und in b) wird sogar noch danach gefragt? Oder hat das was mit der Eigenschaft C2 zu tuen?
