ganzrationale Funktionen Textaufgabe Skipiste

Question

Wir haben in der Schule ein neues Thema bekommen (ganzrationale Funktionen, Ableitung, Hoch-/Tief-/Wendepunkte etc.). Leider habe ich mit folgender Textaufgabe noch ein paar Probleme und brauche Hilfe:

"Der Längsschnitt einer Piste in einer Skihalle kann für 0 ≤ x ≤ 250 näherungsweise durch die Funktion f mit f(x) = -1/100000 x³ + 0,004 x² +0,05 x + 10 beschrieben werden.

a) Die Skihallenbetreiber behaupten, dass die Piste eine Steigung von bis zu 58% besitzt. Haben sie Recht?

b) Bestimmen Sie rechnerisch, an welcher Stelle das Gefälle der Piste am niedrigsten ist."

So wirkliche Ansätze zur Lösung habe ich noch nicht... Bei  b) muss man wahrscheinlich einen Wendepunkt finden, an dem die Steigung so niedrig ist, oder? Aber zu a) habe ich noch keine gute Idee. Es wäre echt super, wenn mir jemand helfen könnte!

Danke schon mal im Voraus! :)

Answer 1

f(x) = - 1/100000·x^3 + 0.004·x^2 + 0.05·x + 10

f'(x) = - 3/100000·x^2 + x/125 + 1/20

f''(x) = 1/125 - 3/50000·x

a) Die Skihallenbetreiber behaupten, dass die Piste eine Steigung von bis zu 58% besitzt. Haben sie Recht?

f''(x) = 0 --> x = 400/3

f'(400/3) = 0.5833 = 58.33%   stimmt

b) Bestimmen Sie rechnerisch, an welcher Stelle das Gefälle der Piste am niedrigsten ist."

f'(0) = 0.05

f'(250) = 0.175

bei x = 0 ist das Gefälle am niedrigsten.

Skizze:

Comments

Hi Mathecoach,
ich finde es ist nicht, dass die dritte Ableitung unter den Teppich gekehrt werden darf.
Weil:  Sind die Nullstellen der Ableitung positiv folgt daraus, dass die Punkte lokale Minima sind. Im indefiniten Fall  bekäme man einen Sattelpunkt. Daraus müsste man folgern, dass das lokale Maximum am Rand zu suchen ist.
Ebenso wie in diesem Beispiel bei b) aus der konstanten negativen dritten Ableitung geschlossen werden konnte, dass das lokale Minimum am Rand zu suchen ist. 

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Dritte Ableitung ist bei Polynomen eigentlich immer überflüssig.

Eine Funktion dritten Grades mit einem Negativen Leitkoeffizient verläuft von links oben nach rechts unten. Also im Unendlichen Streng monoton fallend. Nun haben wir einen Wendepunkt in der die Funktion aber steigend ist. Das bedeutet automatisch man hat zwei Extrempunkte. Die brauche ich nicht mal ausrechnen wenn ich nicht will. Ich berechne also die Steigungen an den Grenzen. Beide sind positiv und damit immer noch im Intervall zwischen den Extrempunkten. Damit haben die lokale minima der Steigung. Die kleinste Steigung der beiden ist damit das globale Minima.

Die dritte Ableitung wird in der Schule gerne benutzt damit die Lehrer grundsätzlich nicht das Verständnis für die Funktionen erklären müssen. Ich finde es allerdings wichtiger, dass man ein Verständnis entwickelt als irgendwelche Ableitungen zu berechnen.

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Beides korrekt. Deswegen auch Daumen hoch, dass du noch ein Bild hinzugefügt hast.

Das mit dem bloßen hinsehen hätte ich auch geschafft, wollte dies aber nochmal hervorheben ;-)

Spätestens in der Funktionanalysis sollten die Begrifflichkeiten der Definitheit sitzen. Und wie kann man das besser lernen als an solchen Funktionen.

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@Mathecoach: Warum haben die Betreiber mit ihrer Behauptung recht, wenn ein Punkt existiert, an dem die Steigung größer als 58% ist?

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Die Angabe von 58% die der Betreiber angibt ist doch sicher gerundet. Gerundet beträgt die Steigung bis zu 58% und ist damit richtig. 

Anders wärs gewesen der Betreiber behauptet die Steigung beträgt bis zu 57%. Das würde ich hier als falsch zurückweisen.

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Dem Aufgabentext ist nicht zu entnehmen, dass es sich bei dieser Angabe um einen abgerundeten Wert handeln möge. Es bleibt daher unklar, woher die Sicherheit für deine diesbezügliche Vermutung stammt.

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Hmm. \(\frac{5}{7} > 58\%\). Bis zu sagt in der Logik das \(f'(x)<0,58 \text{ für alle } x\) gelten muss.

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Und wenn dort steht es existiert eine Steigung von bis zu 58.33% dann ist es auch nicht richtig weil es sind ja 58.33333%

Und wenn dort steht es sind bis zu 100% dann ist es vielleicht deiner Meinung nach richtig weil es gilt ja f'(x) < 1

Manchmal darf man den Standpunkt eines Mathematikers verlassen und es aus den Augen eines Physikers betrachten.

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("Ca.", "etwa") "mindestens", "knapp mehr als" usw. aber "bis zu" ist "ECHT kleiner als". Dann sollen die im Kultusministerium oder die Lehrbücher wohldefinierte Aufgaben stellen.

Wo kämen wir dahin, wenn wir jede Begrifflichkeit interpretieren müssten. Dann hätten wir irgendwas mit Medien studieren müssen...

Und ja die Steigung ist bis zu 1. Und wenn ich zB etwas programmiere und dann Grenzen festlege mit BIS ZU X% Steigung, dann würde das Programm das selbe sagen wie ich:

5/12<0,58 -> FALSE

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Vielleicht sagst uns der Aufgabensteller ja mal wie die Aufgabe letztendlich im Unterricht besprochen worden ist und wie der Lehrer die Deutung sieht.

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Vielen Dank erst einmal für die Hilfe, auch wenn ich hier keine großen Diskussionen auslösen wollte:D

Sobald wir die Aufgabe im Unterricht besprochen haben (voraussichtlich Montag) werde ich euch mitteilen, wie mein Lehrer die Aufgabe bzw. die Lösung versteht.

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wir haben die Aufgabe jetzt besprochen und haben die gleiche Lösung herausbekommen wie Der_Mathecoach auch oben dargestellt hat. :)

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Wenn ein Automobilhersteller bewirbt sein Fahrzeug fährt bis zu 180 km/h schnell. Dann wird auch niemand böse sein wenn es denn 180.4 sind solange es nicht 50 sind. Mathematisch sind aber die 50 km/h richtiger als die 180.4 km/h. 

Daher darf man solche Formulierungen nicht immer ganz so mathematisch sehen. Aber freut mich das es bei euch in der Schule auch so gesehen wird.

Answer 2

Leite die Funktion dreimal ab. Denn eine Ableitung ist nichts anderes als die (positve/negative) Steigung der Ausgangsformel. 

Berechne also einmal am besten bei a) das das maximale Gefälle und bei b) das minimale Gefälle. 

Comments

$$ f\left( x \right) =\frac { -1 }{ 100000 } x^{ 3 }+0.004{ x }^{ 2 }+0.05x+10\\ f'\left( x \right) =\frac { -3 }{ 100000 } x^{ 2 }+0.008{ x }+0.05\\ f''\left( x \right) =\frac { -6 }{ 100000 } x+0.008\\ f'''\left( x \right) =\frac { -6 }{ 100000 } $$

So jetzt: 

$$ f''\left( x \right) =\frac { -6 }{ 100000 } x+0.008\quad =\quad 0\\ \Leftrightarrow \quad x=\frac { 400 }{ 3 } $$

Test:

$$ f'''\left( \frac { 400 }{ 3 }  \right) =\frac { -6 }{ 100000 } <0\quad \rightarrow max. $$

Jetzt:

$$f'\left( \frac { 400 }{ 3 }  \right) =\frac { -3 }{ 100000 } \left( \frac { 400 }{ 3 }  \right) ^{ 2 }+0.008\frac { 400 }{ 3 } +0.05=\frac { 7 }{ 12 }  $$

Das Min kann nur am Rand liegen:

$$f'\left( 0 \right) =\frac { -3 }{ 100000 } 0^{ 2 }+0.008\cdot 0+0.05=\frac { 1 }{ 20 } \\ f'\left( 250 \right) =\frac { -3 }{ 100000 } \left( 250 \right) ^{ 2 }+0.008\cdot 250+0.05=\frac { 7 }{ 40 } $$

Dabei ist offensichtlich bei  \( f'\left( 0 \right)  \) das Minimum

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Danke auch an dich für deine Hilfe, die ausführliche Rechnung hat mir sehr geholfen, das ganze zu verstehen! :)