Kurvenschar: fa(x)= 0,25x^3-3x^2+3ax mit a>0 Diskussion ok? und Extremalwertaufgabe.

Question

=Ich brauche Hilfe bei einer Aufgabe..

Ich muss die Funktion fa(x)= 0,25x^3-3x^2+3ax  mit x E R und a E R+ diskutieren, die Einfache Symmertrie, Achsenschnittpunkte und das Verhalten für x -> +- unendlich waren kein problem aber bei dem extremwerten weiß ich nicht wo mein Fehler ist und bei der zweiten aufgabe weiß ich einfach nicht wie ich das machen soll..

Hier mein Lösungsversuch:

f´(x)= 0,75x^2-6x+3a

f´´(x)= 1,5x-6

f´´´(x)= 1,5

Notwendige Bedingung:

f´(x)= 0,75x^2 -6x+3a   :0,75

= x^2-8x+4a

pq-Formel

4-+ wurzel aus 16-4a

=> x1= 4+ wurzel aus 16-4a und x2= 4-wurzel aus 16-4a

um die Wurzel weg zu bekommen habe ich den Ausdruck zum Quadrat genommen ( darf ich das so einfach?)

dann hab ich für x1= 32-4a und für x2=-4a rausbekommen..

Hinreichende Bedingung:

f´´(-4a)= 1,5*(-4a)-6=0

=> a= -1  > 0 -> Hochpunkt

a wurde ja mit a E R+ beschrieben  , was jetzt?

f´´(x)=1,5(32-4a)= 1,5*(32-4a)-6=0

=> a=7 > 0 -> Tiefpunkt

 dann in die Ausgangsfunktion eingegeben ergibt

HP1(-4a/16a^3-60a^2)

Ist das so richtig? 

Die zweite Aufgabe ist : Der Punkt P(z/f1(z)) bilden im Ursprung U(0/0) und in dem Punkt Q(z/0) ein achsenparalleles Dreieck (0<=z<=6). Bestimmen Sie die Koordinaten von P so, dass die Dreiecksfläche maximal wird.
Könnt ihr mich vielleicht Tipps geben wie ich das machen soll? :)
:)

Anmerkung: Bei 2. dasselbe f wie bei 1.

Comments

Bin am rechnen :)

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P(z/f1(z)) bilden im Ursprung U(0/0) und in dem Punkt Q(z/0) ein achsenparalleles Dreieck (0<=z>=6).

1. Meinst du dasselbe f wie in der ersten Aufgabe mit a=1?
2. Stimmen hier (0<=z>=6). die Ungleichheitszeichen?

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0 ist kleiner oder gleich z und z ist kleiner oder gleich 6, meinte ich damit :)

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zuerst suchen wir das z, dessen y-Wert am größten ist.

Vorhin haben wir ja schon den Hochpunkt errechnet. Um zu schauen, ob dieser sich für a = 1 in der Definitionsmenge D = [0;6] befindet, ersetzen wir a durch 1
4-√(16-3*1) ≈ 0,39

Dann setzen wir einfach für das z   4-√16-3) und errechnen den y-Wert mit dem Taschenrechner.

Answer 1

f´(x)= 0,75x²-6x+3a  ✓

f´´(x)= 1,5x-6 ✓

f´´´(x)= 1,5 ✓

 

Du setzt die erste Ableitung gleich 0:

f´(x)= 0,75x²-6x+3a = 0          Ι:0,75
⇔ x² - 8x + 3a = 0
⇔ x² -8x +4² -4² +3a = 0
⇔ (x-4)² -16 + 3a = 0             Ι+16 -3a
⇔ (x-4)² = 16 - 3a                   Ι√                                               (a muss kleiner als 16/3 sein, ansonsten steht etwas
⇔ x-4 =∨     x-4 =      Negatives unter der Wurzel -> würde nicht gehen
⇔ x = 4∨     x = 4+    -> es gibt keine Extremstellen für a größer als 16/3)

so weit, so gut, aber du darfst nicht einfach quadrieren!!

Hinreichende Bedingung:

f´´(4)= 1,5*(4)-6= 1,5* 4 -1,5*-6 = -1,5*

=> f'' (x₁) < 0   --> Maximum bzw. Hochpunkt


f´´(4 + )=1,5*(4+ ) = 1,5*4 + 1,5* -6 = 1,5 *

=> f''(x₂) > 0   --> Minimum bzw. Tiefpunkt

dann in die Ausgangsfunktion eingegeben ergibt ✓
H(x₁ Ι f(x₁) )
T(x₂ Ι f(x₂) )


 
Jetzt setze ich mich an die zweite Aufgabe :)

Hoffe, es ist verständlich :)

Comments

Die zweite Aufgabe verstehe ich nicht wirklich. Kann man für den y-Wert von P einsetzen, was man will?

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Das würde nämlich meiner Meinung nach keinen Sinn machen. Dann würde das Dreieck ja beliebig groß werden. Habt ihr dazu eine Funktion gegeben?
Ich helfe ja gerne :)

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Die gleiche Funktion, bei der ich die etremwerte undso bestimmen sollte :)

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Bei der Notwendigen Bedingung, wo man die erste Ableitunge gleich null stezt, hast du ja die Funktion geteilt durch 0,75 genommen, aber du hast 3a nicht geteilt durch 0,75.. muss man das nicht auch?

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Bin am rechnen :)

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Ach verdammt, stimmt, also ich versuchs zu verbessern..

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reicht doch wenn ich statt 3 immer 4 schreibe oder nicht?

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Du setzt die erste Ableitung gleich 0:

f´(x)= 0,75x²-6x+3a = 0          Ι:0,75
⇔ x² - 8x + 4a = 0
⇔ x² -8x +4² -4² +4a = 0
⇔ (x-4)² -16 + 4a = 0             Ι+16 -4a
⇔ (x-4)² = 16 - 4a                 Ι√      (a muss kleiner als 4 sein, sonst keine Extremstelle)
⇔ x-4 =
∨     x-4 =                                
⇔ x = 4 ∨     x = 4+                         

so weit, so gut, aber du darfst nicht einfach quadrieren!!

Hinreichende Bedingung:

f´´(4)= 1,5*(4)-6= 1,5* 4 +1,5*-6 =
1,5*

=> f'' (x₁) < 0   --> Maximum bzw. Hochpunkt


f´´(4 + )=1,5*(4+ ) = 1,5*4 + 1,5* -6 = 1,5 *

=> f''(x₂) > 0   --> Minimum bzw. Tiefpunkt

dann in die Ausgangsfunktion eingegeben ergibt ✓
H(x₁ Ι f(x₁) )
T(x₂ Ι f(x₂) )

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Ja, ich hab die Wurzel noch vereinfacht, aber das musst du nicht :)

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zuerst suchen wir das z, dessen y-Wert am größten ist.

Vorhin haben wir ja schon den Hochpunkt errechnet. Um zu schauen, ob dieser sich für a = 1 in der Definitionsmenge D = [0;6] befindet, ersetzen wir a durch 1
4-2*√(4-1) ≈ 0,53

Dann setzen wir einfach für das z   4-2*√(4-1) und errechnen den y-Wert mit dem Taschenrechner.

U(0Ι0)
Q(4-2*√(4-1)Ι0)                  bzw. Q(0,53Ι0)
P(4-2*√(4-1)Ι0,78)             bzw. P(o,53Ι0,78)

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Ist das so nicht richtig?

ich hab das so gemacht, weil ich die quadratische ergänzung nicht kann..

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Bei mir kommt dann nämlich nicht 0,53 raus :/

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0,53 kommt bei mir doch raus :)off

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Du brauchst keine quadratische Ergänzung :)

stimmt soweit bis auf das f''(x_1/2)=0 bei der hinreichenden Bedingung :)

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nur eine formale Sache :)

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Okay , dann habe ich jetzt glaub ich alles verstanden :)
Danke, du warst mir echt eine große Hilfe  :)

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Sorry,stimmt doch :)

Wir habens nur anders gelernt :)