Die Flächenberechnung geht genau mit dem bei euch so beliebten Kreuizprodukt; ich hab das selbst schon in einem Weltelektronikunternehmen programmiert. Z.B. du hast das Einheitsquadrat; der Ursprung O des Koordinatensystems befinde sich im Andromedanebel. Zeichne die Situation ruhig mal auf Karton auf. Im ebenen Fall hast du vier Dreiecke OAB , OBC , OCD so wie ODA . die durch das Kreuzprodukt bestimmte Fläche ist orientiert genau, wie die Determinante ein orientiertes Volumen darstellt ( Linkshändige Spate haben " negatives " Volumen. )
Auf deiner Zeichnung sagst du nun, alle Dreiecke mit negativem Drehsinn bestehen aus " Antimaterie " - du schneidest sie weg. Was stehen bleibt, ist das zu berechnende Quadrat.
Hier ich hab das getestet; in meiner Routine verschob ich das Einheitsquadrat um eine Million einheiten längs der Winkel Halbierenden - in einfach gleitkomma nur ein Rundungsfehler in der 6. Stelle . . .
Wie war es dazu gekommen? Mein Chef " Onkel Bernd "
" Herr Dr; ich brauche für unsere Lötaugen ein Programm zur Flächenberechnung für n-Ecke. "
" Keine Ahnung, wie man das machen könnte. "
" Schauen Sie; wenn ich das selber könnte, braucht ich Sie ja net. Ich hab ja nix weiter gesagt als, setzensich in Ruhe hin, denkense erst mal nach; und lassensich was einfallen . . . "
Schon als Kind fühlte ich mich diesem Kepler sehr stark wesensverwandt - und da kam mir folgende Idea:
Bei dem 2. Keplerschen Gesetz tust du doch auch von dem Kraftzentrum O aus Strahlen nach der bahnkurve ziehen, welche die überstrichene Fläche in infinitesimale Dreiecke zerlegen.
Von den Griechen stammt jener Lehrsatz, dass du jedes n-Eck in Dreiecke zerlegen kannst; die brauchten das nämlich aus zwei Gründen:
1) Sie kannten keine negativen Zahlen ( negativ orientierte Flächen )
2) Es gibt n-Ecke, die sind nicht ===> konvex . Da kannst du diese Dreieckszerlegung nie von einem inneren Punkt aus erreichen.
Es geht wie gesagt nur mit diesen negativen Dreiecken; erst dann machst du dich wirklich frei vom Bezugspunkt. Und im Raum sind diese Dreiecksflächen als Kreuzprodukte eh vektoriell.
Diese und ähnliche Erfahrungen lehrten mich übrigens, uneingeschränkt an das Führerprinzip zu glauben; es gibt eben Leute, die ganz klar erkennen, wie und wo man dich einsetzen muss, damit du Ergebnisse bringst.
F ( OAB ) = 1/2 A X B = 1/2 ( 1 * 0 - 1 * 3 | 1 * 5 - 1 * 0 | 1 * 3 - 1 * 5 ) = ( 1a )
= 1/2 ( - 3 | 5 | - 2 ) ( 1b )
F ( OBC ) = 1/2 B X C = 1/2 ( 0 | 0 | 31 ) ( 2a )
F ( OCD ) = 1/2 C X D = - 1/2 ( 5 | 2 | 24 ) ( 2b )
F ( ODA ) = - 1/2 A X D = 1/2 ( 8 | - 3 | - 5 ) ( 2c )
F ( ges ) ( vek ) = 1/2 ( 0 | 0 | 0 ) ( 3 )
Ich habe das überprüft; im Internet gibt es Online Kreuzprodukt Rechner.
Als Nächstes ging ich der Frage nach: Liegen die vier Punkte A - D wirklich wie behauptet in einer Ebene E? Hierfür hat nämlich der geniale User " der Mo " bei der Konkurrenz ===> Ly cos eine geniale Determinante entwickelt - meldet euch, wenn es euch intressiert. Eure Lehrer kennen das nämlich gar nicht ( So hässlich wie dieses Ly cos im Einzelnen auch sein mag; es hat mein Leben erleichtet. )
Also. Drei Punkte liegen trivial in einer Ebene; deren KOORDINATENFORM ist a la Billy Mo zu bestimmen. Anschließend fragst du dich: Liegt auch D € E ? Dies ist tatsächlich der Fall.
" Schwalbenschwänze " hatten wir im Betrieb tatsächlich, wenn irgendwelche Plotkoordinarten falsch berechnet waren. Im Gegentum zu einem Dreieck muss ja ein Viereck nicht mehr ===> einfach geschlossen sein. Stell dir vor, du klebst zwei kongruente Dreiecke ABC und A ' B ' C bei C zusammen. Dann ergibt sich das Viereck A B C B ' A ' C A ; d.h. der Punkt C wird zwei Mal durchlaufen ( Eckpunkte sind A , B , A ' und B ' )
Ich weiß nicht wie eine Pyramide definiert ist; aber selbst bei den kompliziertesten Aufgaben wurde stets voraus gesetzt, dass es sich bei ihrer Grundfläche um eine ORIENTIERBARE Figur handelt. ( Sonst verliert der Pharao bei Osiris jede Orientierung, und die Nilflut fließt rückwärts. ) Z.B. für ein Quadrat existiert ein Drehsinn; für das Kreuzprodukt erweist sich der ja als entscheidend. ( Effektiver ) Flächeninhalt Null kann sich ja nur ergeben, wenn die Figur zerfällt in ( zwei ) Teile mit positivem bzw. negativem Drehsinn. Dabei können wir noch von Glück sagen, dass hier Null raus kommt. Sonst hätten wir diesen patologischen Fall nie erkannt.
Man sieht unmittelbar ein, dass die beiden Seiten a und c parallel sind. Jetzt geh mal aus von den beiden Geradengleichungen
g1;2 := s1;2 + k1:2 t1;2 ( 4a )
s1 := A ; s2 := B ( 4b )
t1 := D - A ( 4c )
t2 := C - B ( 4d )
g1 entspricht demnach Seite d und g2 Seite b . Und für ein reguläres Vsollte erfüllt sein
| k1 | > 1 ( 5 )
als Schnittpunktsbedingung.
Kann man für Matematik eine Gehaltserhöhung kriegen? Ich schon.
Unterdrücken wir erst mal die z-Koordinate; wir wissen ja schon, dass es sich um ein ebenes Problem handelt.
Für unsere Lötaugen ( s.o. ) sollte ich eine Schnittpunktsroutine entwickeln. Aber wenn jetzt eine Gerade vertikal unter 90 ° C verläuft? Unendlich goutiert der Rechner nicht . . . Ein Kollege witzelte
" Herr Dr; bauen Sie nie ein if in Ihre Programme ein. Das If greift in die Logik ein . . . "
Trifft sicher zu auf den Alten über den Wolken. In einem Naturgesetz jeden Falls habe ich noch nie ein If gesehen . . .
Ich ging aus von der Parameterform der Geraden ( 4a ) , die ( x | y )-Ebene allerdings genommen als ===> komplex. Komplexe Zahlen sind ja mehr als Vektoren; mit denen kannst du richtig rechnen. So ein bissele trauere ich der Programmiersprache ===> Fortran schon nach; als einzige kennt diese den Datentyp " Complex " und konvertiert bei Bedarf Symbole wie " a + b " oder " a * b " nach Komplex; Fortran ist ===> generic .
Die Formel zur Bestimmung von k1 nenne ich den " komplexen Sinussatz " ( KS ) aus Gründen, die gleich ersichtlich werden. Für diesen KS bekam ich eine außertarifliche Zulage von 500 DM brutto. Im Gegentum zu den Kollegen bekam ich die Tarifprozente alle auch auf die Zulage, während die Kollegen die Zulage nach derf Salamitaktik ABGEZOGEN bekamen ( Dafür hatten die allerdings 10 % Leistungszulage und ich nur 3 )
Den KS konnte ich übrigens auswändig lange vor der Mitternachtsformel. In der Notation ( 4a ) folgt
s := s2 - s1 ( 6a )
Imag ( s / t2 )
k1 = --------------------------------------- ( 6b )
Imag ( t1 / t2 )
Und jetzt zeichne dir das Dreieck auf aus den Vektoren s , t1 und t2 . Dann wird dir der Begriff KS sofort klar. Du rechnest dich also nicht mit zwei Unbekannten dusselig, sondern setzt einfach ein. ( 4b-d ) einsetzen in ( 6b )
s2 = B = 5 + 3 i ( 7a )
s1 = A = 1 + i ( 7b )
s = 2 ( 2 + i ) ( 7c )
( max Zeichen )
