Definitheit einer unsymmetrischen Matrix

Question

Hallo. Ich soll die positive Definitheit von einigen Matrizen bestätigen (oder widerlegen). Alle bisherigen Matrizen waren symmetrisch, sodass ich das Minorenkriterium anwenden konnte.

Die folgende Matrix

2	1
2	2

Ist aber nicht symmetrisch, sodass ich weder das Minorenkriterium anwenden kann, noch über die Eigenwerte gehen kann.

Ich bin mir nicht sicher, ob die Matrix nur ausversehen so angegeben wurde (es lässt sich mit der Definitheit einer unsymmerischen Matrix ja keine weitergehenden Aussage bezüglich der Eigenwerte treffen).

Es wäre trotzdem schön, wenn ihr mir das weitere Vorgehen erläutern könntet.

Danke

Answer 1

Du kannst direkt die quadratische Form \(x^TAx\) untersuchen oder die Matrix \(1/2(A+A^T)\) betrachten. Letztere liefert ja dieselbe quadratische Form.

Comments

Danke.

Kannst du vielleicht einen Link posten, wo diese Vorgehensweise erklärt wird; oder ein Stichwort, wie man diese Vorgehensweise nennt?

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Matrix symmetrisieren.

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Die symetrisierte Matrix lautet dann also

2	3/2
3/2	2

Womit die Matrix positiv definit ist.