Wie muss ich den Flächeninhalt zwischen f1: y= x^2-3x, f2: y= x^3-6x^2+9x ausrechnen?

Question

Berechne den Inhalt des Flächenstückes, das die Graphen der Funktionen f1 und f2 einschliessen.

f1: y= x²-3x, f2: y= x³-6x²+9x

Lösung: 11.83

Kann mir jemand diese Aufgabe erklären? Ich weiss nicht wie man hier vorgehen muss.

Answer 1

d(x) = f2(x) - f1(x) = (x^3 - 6·x^2 + 9·x) - (x^2 - 3·x) = x^3 - 7·x^2 + 12·x

Stammfunktion

D(x) = 1/4·x^4 - 7/3·x^3 + 6·x^2

Nullstellen d(x) = 0

x^3 - 7·x^2 + 12·x = 0

x = 4 ∨ x = 3 ∨ x = 0

Fläche

A1 = D(3) - D(0) = 11.25

A2 = D(4) - D(3) = - 7/12

A = 11.25 + 7/12 = 71/6 = 11.83 FE

Comments

Wie findet man heraus, dass die Nullstellen bei 3 und 4 sind? Durch raten? Und wie weiss man wie viele Nullstellen es insgesamt gibt?

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Wie weiss man dass man es so von einander abziehen muss?/ Hätte man nicht auch D(4)-D(0) rechnen können?

A1 = D(3) - D(0) = 11.25

A2 = D(4) - D(3) = - 7/12

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Eine Funktion 3. Grades hat maximal 3 Nullstellen.

Man kann hier ein x ausklammer und erhält x = 0 als eine Lösung. Übrigt bleibt eine einfache quadratische Gleichung die man lösen kann.

Über Nullstellen darf man nicht hinweg integrieren, weil Ich ja eine negative und eine positive Fläche bekomme, die sonst falscher Weise miteinander Verrechnet werden.

Negative Flächen sind Flächen unter der x-Achse. Sie zählen wenn wir uns für Flächen interessieren aber trotzdem positiv.