Welchen Inhalt hat diese Parabel ( Integral)

Question

Die Aufgabenstellung ist folgende: Welchen Inhalt hat eines der beiden Flächenstücke, welches die Parabel p: x= x³ -x mit ihrer Normalen im Wendepunkt einschliesst?

Die Lösung zu dieser Aufgabe wäre A=1

Answer 1

die Parabel p: x= x³ -x mit ihrer Normalen im Wendepunkt einschliesst?

wird wohl   y = x^3 - x sein.

Wendepunkt:   f ' ' (x) = 0

                            6x = 0

Also Wendepu  ( 0 | 0 ).

Normale hat dort Steigung  -1 / f ' (0) = 1

: ~plot~x^3-x;x~plot~

Schnittpunkte   x^3 - x = x

              x^3 - 2x = 0

           x*(x^2-2) = 0

also bei - √2  ;  0   und  √2

Fläche durch Integral von 0 bis  √2 über  x - f(x)

gibt Stammfkt  -1/4 x^4 + x^2 und in den Grenzen von 0 bis √2 also 1.

Answer 2

f(x) = x³ - x

f ' (x) = 3x² -1

f '' (x) = 6x

Wendestelle  für f ''(x) = 0 -> x_w = 0 

f(0) = 0 -> W(0|0)

f '(0) = -1 -> Steigung in W = -1 -> Steigung der Normalen = 1 (senkrecht zur Tangente)

Punkt-Steigungs-Formel:  N(x) = x

N(x) = f(x) : x³ - x = x

Schnittstellen f(x) mit N(x):  ±√2, 0

A = 2 • ∫ (von 0 bis √2) (x -( x³ -x)) dx = 2 [2-mal ∫ wegen Symmetrie]

Comments

Wie kommt man hier auf diese Punkt-Steigungsformel? (mx+q)

f '(0) = -1 -> Steigung in W = -1 -> Steigung der Normalen = 1 (senkrecht zur Tangente)

Punkt-Steigungs-Formel:  N(x) = x

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Du brauchst nur eine Funktion die durch den Wendepunkt (Ursprung geht) und die Steigung 1 hat. Das muss man nicht in der Punktsteigungsform aufstellen

N(x) = m*x + b langt auch

m ist die Steigung 1 und b ist der Y-Achsenabschnitt 0.

Mehr steckt da nicht dahinter.