Welche genaue Bedeutung haben Skalarprodukt und Kreuzprodukt?

Question

mir ist es immer noch nicht so ganz klar, warum man bei Vektoren zwischen einem Skalrprodukt und einem Kreuzprodukt unterscheidet...

also das Kreuzprodukt gibt betragmäßig die Fläche eines Parallelogramms zwischen zwei Vektoren an und steht nach der Rechtssschraubenregel senkrecht zu ihnen.

Beim Skalarprodukt wird die Länge angegeben, wenn man die Spitze des 2. Vektors senkrecht auf den 1. projeziert... aber welchen Sinn hat das ganze? Warum hat man hier zwei Produktarten?

Answer 1

Lass dich von der Bezeichnung "Produkt" nicht verwirren. Bezeichnungen sind beliebig, die Ideen hinter den Bezeichnungen zählen.

Wie du schon selbst erkannt hast, werden mit Skalarprodukt und Kreuzprodukt unterschiedliche Dinge berechnet. Beide sind nützlich. Beim Kreuzprodukt ist das eher die Tatsache, dass das Ergebnis senkrecht auf den zwei ursprünglichen Vektoren steht. Beim Skalarprodukt ist es zumindest in der Schule die Tatsache, dass das Ergebnis Null ist, wenn die zwei ursprünglichen Vektoren senkrecht zueinander stehen (bitte veranschauliche dir diese Aussage anhand des Projektionsdings von dem du geschrieben hast.).

Kurz gesagt: Mit dem Kreuzprodukt kann man Orthogonaltät konstruieren. Mit dem Skalarprodukt kann man Orthogonaltät prüfen.

Answer 2

\(\mathfrak{a}\cdot\mathfrak{b}\) ist ein Skalar, \(\mathfrak{a}\times\mathfrak{b}\) ist ein Vektor. Als ob das noch nicht genug waere, hast Du auch in beiden Faellen die geometrische Interpretation angegeben. Reicht das noch nicht, um einzusehen, dass es sich hier um zwei grundverschiedene Dinge handelt?