Injektivität. Verständnisfrage zur Definition.

Question

also mein prof hat mir eine formele schreibweise gezeigt das erste ist mir klar dass danach verwirrt mich aber.

also er hat geschrieben.

Sei f: D -> W eine Funktion. Dann heißt f injektiv, falls für alle x1,x2 € R mit  x1  ≠ (also ungleich) x2 f(x1) ≠ (also ungleich) f(x2)

kurz: x1 ungleich x2  folgt f(x1) ungleich f(x2)   

// bisdahin ist mir klar aber er hatte noch eine    alternative     schreibeweise geschrieben

alternativ:

f(x1)  = f(x2) folgt  x1= x2

ist das eigentlich kein widerspruch?

kann das mir bitte einer erklären?

danke

Answer 1

Nein. Das ist kein Widerspruch. Wenn du zwei gleiche Funktionswerte hast, dann können die nur von der selben Stelle stammen.

Die erste Definition war: Hat man zwei verschiedene Stellen, dann sind die Funktionswerte an diesen Stellen nie gleich.

Siehe dazu auch

https://de.wikipedia.org/wiki/Injektivit%C3%A4t

Comments

alternativ:

f(x1)  = f(x2) folgt  x1= x2

ja aber hier sagt man doch  das x1 und x2 gleich sind also nicht verschieden

und dann steht ja das noch die funktionswerte gleich sind?

oder verstehe ich den ausdruck hier falsch?

---

ich mein

ich fasse das gerade so auf

alternativ:

f(x1)  = f(x2) folgt  x1= x2

4  =  4                         (-2) = (2)

wo ist mein denkfehler dann?

---

Es heisst.

"aus f(x1)  = f(x2) folgt  x1= x2 "

Logik:

"Aus A folgt B"

ist immer äquivalent zu

"Aus nichtB folgt nichtA".

---

Logik:

"Aus A folgt B"

ist immer äquivalent zu

"Aus nichtB folgt nichtA".

das ist mir klar aber könntest du mir vielleicht ein zahlen beispiel zeigen das hierfür gilt?

 f(x1)  = f(x2) folgt  x1= x2 "

---

aus (f(x1)  = f(x2) ) folgt  (x1= x2 )

ist äquivalent zu

aus nicht(x1 = x2) folgt nicht(f(x1) = f(x2))     |Negation interpretieren 

aus (x1≠x2) folgt (f(x1) ≠ f(x2)) 

---

f(x1)  = f(x2) folgt  x1= x2 

4  =  4                         (-2) = (2)

Ist das die Funktion f(x) = x^2 ? Ist die denn überhaupt injektiv ? Ich denke nicht.

---

ich glaub jetzt verstehe ich es einwenig besser

mir verwirrt aber immernoch x1=x2

das kann ja eig nur bedeuten

z.b.

1= 1

2=2

oder nicht?

mann kann ja auf der x achse nur nur einmal treten nicht zweimal oder?

x=2 wäre so eine funktion injektiv?

das wäre ja ein senkrechter strich im koordinaten achse

---

f(x1)  = f(x2) folgt  x1= x2 

4  =  4                         (-2) = (2)

Ist das die Funktion f(x) = x² ? Ist die denn überhaupt injektiv ? Ich denke nicht.

Kommentiert vor 1 Minute von Der_Mathecoach

Nur zur unterscheidung hab es kopiert

ich glauch ich habe einfach den part x1= x2 falsch verstanden
da ja -2 nicht glecih 2 ist somit müsste ja alles
was aus f(x1)  = f(x2) folgt  x1= x2

immer dieselbe x stelle sein oder?

---

Genau. Daher habe ich oben ja mal in der deutschen Spache geschrieben was man darunter versteht.