Also erstmal fehlt überhaupt eine Übersicht welche Voraussetzungen gelten. Gehen wir zum Beispiel davon aus, dass \(F\) existiert und invertierbar ist (so wie die Matrix \(A_{11} \)). Dann kannst du einfach durch nachrechnen überprüfen, ob für das angegebene \(A^{-1} \) gilt:
$$ A \cdot A^{-1} = E $$
Mit \(A\) ist hier die gesamte Matrix gemeint.
Wenn du aber direkt die Inverse nachrechnen willst, dann suchst du eine partitionierte Matrix \(B\), so dass
$$ A \cdot B = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E & 0\\ 0 & E\end{pmatrix}$$
wobei die Matrizen auf der rechten Seite natürlich mit den Dimensionen der einzelnen Matrizen in der Partitionierung harmoniern.
Was deine Bemühungen über die Determinante betrifft: Deine Matrizen in der Partitionierung sind doch im allgemeinen keine Skalare, also passt deine Notation auch nicht.
