Sei \( f(x)=\frac{x^2-9}{x-3} \). Die Funktion ist bei \( x=3 \) nicht definiert. Allerdings kann die Funktion mit einer der binomischen Formeln umgeschrieben werden zu \( f(x)=\frac{(x+3)(x-3)}{x-3} \). Jetzt kann man kürzen und bekommt dadurch eine neue Funktion \( g(x) = x+3 \). Die Funktionen \( f \) und \( g \) stimmen an allen Stellen überein, außer dort, wo \( f \) nicht definiert ist. Deshalb gilt \( \lim_{x\to3}f(x) = \lim_{x\to3}g(x) = g(3) = 6 \).
Es sei \( f \) eine Funktion und \( x_0 \) im Definitionsbereich von \( f \). Die Funktion \( s(x) = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \) gibt die Steigung der Sekante zwischen dem Punkt \( P(x_0|f(x_0)) \) und dem Punkt \( Q(x|f(x)) \) an. Den Ausdruck \( \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \) nennt man Differenzenquotient von \( f \) an der Stelle \( x_0 \). Die Ableitung von \( f \) an der Stelle \( x_0 \) ist definiert als \( \lim_{x\to x_0}s(x) \). Kurz gesagt: die Ableitung ist der Grenzwert des Differenzenquotienten.
Das \( x \), dass in \( s \) verwendet wird, kann als \( x_0+h \) geschrieben werden. Es ist \( s(x_0+h) = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{x_0+h-x_0} = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \). Diese Form des Differenzenquotienten ist für praktische Rechnungen oft handlicher. Die Ableitung von \( f \) an der Stelle \( x_0 \) ist dann \( \lim_{h\to 0}s(x_0+h)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \).
Mit dieser h-Methode kann die Ableitung berechnet werden. Es sei \( f(x)=x^3 \). Dann ist
\( \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = \\ \lim_{h\to 0}\frac{(x_0+h)^3-x_0^3}{h} = \\ \lim_{h\to 0}\frac{(x_0^3+3x_0^2h+3x_0h^2+h^3)-x_0^3}{h} = \\ \lim_{h\to 0}\frac{3x_0^2h+3x_0h^2+h^3}{h} = \\ \lim_{h\to 0}\frac{(3x_0^2+3x_0h+h^2)\cdot h}{h} = \\ \lim_{h\to 0}3x_0^2+3x_0h+h^2\)
Jetzt kann für \( h \) eine Null eingesetzt werden und man bekommt \( \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = 3x_0^2\).
