Aufstellen einer Funktion 3. Grades mit Hochpunkt bei H(3|2) und Wendestelle Xw=2.

Question

im Rahmen meiner Prüfungsvorbereitung möchte ich gern folgende Aufgabe lösen.

Eine Funktion 3. Grades hat einen Hochpunkt bei H(3|2) und an der Stelle Xw=2 eine Wendestelle. Die Wendetangente hat die Steigung 1,5.

Folgende Überlegungen habe ich bereits angestellt:

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

f'(x)=3ax^2+2bx+c

f''(x)=6ax+2b

Notwendige relevante Bedingungen für Wendepunkt --> f''(x)=0

gegeben: f''(2)=0 und f'(2)=1,5

 

Notwendige Bedingung für Hochpunkt --> f'(x)=0

gegeben: f'(3)=0 und f(3)=2

 

Bis hier bin ich mir sicher das mein Ansatz richtig ist aber wie muss ich weiter machen?

 

Besten Dank vor ab :-)

Answer 1

Eine Funktion 3. Grades 

f(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d
f'(x) = 3·a·x^2 + 2·b·x + c
f''(x) = 6·a·x + 2·b

hat einen Hochpunkt bei H(3|2)

f(3) = 2 --> Du setzt 3 in die Funktionsgleichung ein und setzt das ganze gleich 2.
27·a + 9·b + 3·c + d = 2

f'(3) = 0
27·a + 6·b + c = 0

und an der Stelle Xw=2 eine Wendestelle.

f''(2) = 0
12·a + 2·b = 0

Die Wendetangente hat die Steigung 1,5.

f'(2) = 1.5
12·a + 4·b + c = 1.5

Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 4 Unbekannten.

27·a + 9·b + 3·c + d = 2
27·a + 6·b + c = 0
12·a + 2·b = 0
12·a + 4·b + c = 1.5

Das kannst du jetzt über das Additionsverfahren lösen.

Du solltest folgende Lösung bekommen: a = -0.5 ∧ b = 3 ∧ c = -4.5 ∧ d = 2

Demnach lautet die Funktionsgleichung: f(x) = -0.5·x^3 + 3·x^2 - 4.5·x + 2

Ich mache dir noch eine Skizze:

Comments

vielen Dank dafür!

Ich beschäftige mich eigentlich erst sei 2 Wochen mit Integral und Differenzial Rechnung so das hier und da noch Grundlagen fehlen.

 

Von daher muss ich jetzt leider fragen was genau heißt Additionsverfahren?

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Das Additionsverfahren ist ein Verfahren, um lineare Gleichungssysteme zu lösen:

https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=V77joKwBifU

https://www.matheretter.de/wiki/lineare-gleichungssysteme

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ok für 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten leuchtet es mir ein meine mich sogar daran zu erinnern das wir so etwas mal in der 8. oder 9. Klasse hatten :-)

Aber mit mehreren Unbekannten und mehren Gleichungen.... Kann ich irgend wie erkennen wie man am geschicktesten vorgeht ohne das eine ganze Seite voll schreiben wird?

Ich muss dazusagen das ich schon seid 5 Stunden an der Aufgabe Rätsel und viel dabei gelernt habe allerdings werden mittlerweile die einfachsten Dinge zum Problem :-)

Ist es wirklich nur Addition und Subtraktion oder muss ich um es elegant zu lösen auch noch einsetzen oder gar gleichsetzen?

Könnte mir jemand in diesem Fall bitte die Rechnung einmal vormachen damit ich das ganze abschließen kann.

 

mfg max

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Wir haben 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten

I. 27·a + 9·b + 3·c + d = 2 
II. 27·a + 6·b + c = 0 
III. 12·a + 2·b = 0 
IV. 12·a + 4·b + c = 1.5

Jetzt addieren wir vielfache der ersten und einer weiteren Gleichung so geschickt, dass eine unbekannte wegfällt. Da Gleichung II bis IV aber eh nur noch 3 Unbekannten haben ist das das neue System

I. 27·a + 6·b + c = 0 
II. 12·a + 2·b = 0 
III. 12·a + 4·b + c = 1.5

Jetzt addieren wir wieder vielfache der ersten und einer weiteren Gleichung so geschickt, dass erneut eine Unbekannte wegfällt. Die zweite zeile können wir übernehmen, da sie eh nur noch 2 Unbekannte enthällt.

I - III

I. 12·a + 2·b = 0 
II. (27·a + 6·b + c) - (12·a + 4·b + c) = (0) - (1.5)
II. 15·a + 2·b = -1.5

Und auch jetzt addieren wir Vielfache der ersten und zweiten Gleichung um eine Unbekannte verschwinden zu lassen.

I - II

(12·a + 2·b) - (15·a + 2·b) = (0) - (-1.5)
-3a = 1.5
a = -0.5

Jetzt wo wir ein a haben können wir das in eine Gleichung einsetzen die neben dem a eine weitere Unbekannte enthällt.

12·(-0.5) + 2·b = 0 
b = 3

Jetzt wird a und b in eine Gleichung eingesetzt die noch eine weitere Unbekannte enthällt usw. bis zu alle Unbekannten ausgerechnet hast.

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vielen

bin immer wieder gerne hier :-)

Answer 2

"Eine Funktion 3. Grades hat einen Hochpunkt bei H(3|2) und an der Stelle Xw=2 eine Wendestelle. Die Wendetangente hat die Steigung 1,5."

Hochpunkt bei H(3|2) und Wendestelle bei x=2 bedeutet Tiefpunkt bei T(1|0) (doppelte Nullstelle)

Lösung mit der Nullstellenform der kubischen Parabel:

\(f(x)=a*(x-1)^2*(x-N)\)

\(f´(x)=a*[(2x-2)*(x-N)+(x-1)^2*1]\)

\(f´´(x)=a*[2*(x-N)+(2x-2)*1+2*(x-1)*1]\)

\(f´´(2)=a*[2(2-N)+(2*2-2)+2(2-1)=a*(8-2N)]\)

\(f´´(2)=0\)

\(a*(8-2N)=0→N=4]\)

\(f´(x)=a*[(2x-2)*(x-4)+(x-1)^2]\)

\(f´(2)=a*[(2*2-2)*(2-4)+(2-1)^2]=-3a\)

\(-3a=1,5→a=-0,5\)

\(f(x)=-0,5*(x-1)^2*(x-4)\)