lineares Gleichungssystem.

Question

Bestimmen Sie alle Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems über Z7 

x1 + 2x2 + 3x3 +6x4 = 2

2x1 +x2 +x3 +2x4 =5 

0x1 +4x2 +2x3 +4x4 = 1

Kommt jemand auf die Lösung ? 

Comments

3 Gleichungen mit 4 Unbekannten.
Da kommt nichts Konkretes bei heraus.

Answer 1

x1 + 2x2 + 3x3 +6x4 = 2  |*2 und davon die 2. abziehen

2x1 +x2 +x3 +2x4 =5 

0x1 +4x2 +2x3 +4x4 = 1

----------------------------------

0x1 + 3x2 + 5x3 +3x4 = 6 

2x1 +x2 +x3 +2x4 =5 

0x1 +4x2 +2x3 +4x4 = 1   | + 1. Gleichung

--------------------------------------

0x1 + 3x2 + 5x3 +3x4 = 6 

2x1 +x2 +x3 +2x4 =5 

0x1 +0x2 +0x3 +0x4 = 0
-------------------------------------
Die letzte Gleichung gilt immer, deshalb kurzer

0x1 + 3x2 + 5x3 +3x4 = 6 

2x1 +x2 +x3 +2x4 =5 

Also siehst du: Rang = 2, also kannst du 2 Variable
frei wählen, etwa x3=s und x4=t und hast aus der 1. Gleichung

3x2 = 6 -5s -3t   |:3

  x2 = 2 -4s-t  (Bedenke 5:3=4 weil 3*4=12=5)

einsetzen in Gleichung 2

2x1 + 2 -4s-t  +s +2t =5 

2x1 = 3 + 3s - t   | :2
(hier wieder 3:2=5 etc.)

x1 = 3 + s - 4t

also Lösungsmenge

{(3+s-4t|2 -4s-t |s|t)   |   s,t aus Z7 }

vorsichtshalber noch mal nachrechnen.

Comments

Hallo mathef 2*I - II = 3x2 + 5x3 + 10x4 = -1 Eine möglcihe Lösung wäre {x1 = 5 / 2, x2 = 1 / 2, x3 = ((-2) * x4) - 1 / 2, x4 = x4} Gruß pda

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Ich denke es ging um ALLE und zwar in Z7.