Beweis von (ℤ_12, +) ist eine Gruppe - lineare Algebra

Question

Ich soll beweisen: Lemma: (ℤ_12, +) ist eine Gruppe. 
Also Bedingungen einer Gruppe sind mir klar: 1. assoziativ (trifft hier zu weil +) 2. neutrales Eelement (hier 0?) 3. Inverses Element  (4. Kommunativgesetz)
Ich weiß jetzt nur nicht wie ich diese Annahme als Gleichung aufschreiben kann, bzw.  was die 12 hier überhaupt für eine Bedeutung hat.... Hab sowas bisher leider noch nie gemacht....
:o

Answer 1

1. assoziativ (trifft hier zu weil +)  Assoziativität von + überträgt sich von Z auf Z12

2. neutrales Eelement (hier 0?)

zeigst du  Sei x aus Z12 dann ist x+0=x und 0+x=x also 0 neutr. El.

3. Zu jedem x aus Z12 gibt es ein Inverses Element .

Sei xquer eine Klasse aus Z12 . Und x ein Vetreter dieser Klasse

im Bereich { 0; ...; 11} Dann liegt auch 12 - x in diesem Bereich.

und es ist x + ( 12 -x) = 0.

Also ist die Klasse (12-x)quer das Inverse zur Klasse xquer.

Wichtig auch noch: Abgeschlossenheit: Wenn man 2 El. aus Z12 addiert,

ist das Ergebnis wieder in Z12.

Comments

Achso, danke erstmal für die Antwort!!!!

aber: "zu jedem x aus z12" (nur habe ich noch nicht ganz verstanden welche x die Menge z12 umfasst :/ )

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cb7211:

Gemäss https://de.wikipedia.org/wiki/Restklassenring#Schreibweisen_und_Konventionen

ist Z_(12) = { 0,1,2,3,4,....11}

Die Elemente von Z_(12) sind als Restklassen modulo 12 zu betrachten.

Im verlinkten Artikel wird darauf hingewiesen, dass Verwechslungsgefahr besteht. Vergleiche die Definition daher mit der in deinen Unterlagen.

Answer 2

ℤ₁₂ ist die Menge der Vielfachen von 12, also {0,12, -12, 24, -24, ...}.

Zu neutralem Element: Es ist 0∈ℤ₁₂ , weil 0 = 0·12 ist. 0∈ℤ₁₂ ist neutral, weil 0∈ℤ neutral ist.

Zu inversen Elementen: Es sei z∈ℤ₁₂. Ferner sei n∈ℤ mit n·12=z (ein solches n existiert laut  Definition von ℤ₁₂). Dann ist -z=-n·12, also -z∈ℤ₁₂ und z + (-z) = 0.

Muss noch vervollständigt werden. Das meißte kann auf Eigenschaften von ℤ zurückgeführt werden.

Wichtig noch (weil es sich um eine Untergruppe handelt) du musst ∀z₁,z₂∈ℤ₁₂ zeigen, dass z₁+z₂∈ℤ₁₂ ist.

Comments

Verwechselst du hier \(12\mathbb Z\) mit \(\mathbb Z_{12}\)?

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Ja