Wie beweise ich dass M=N ist?

Question

Es hat 3 Mengen: L, M und N. Für diese gilt folgendes:

L∪M = L∩N

L∩M = L∪N

Sonst weiß man nichts über diese Mengen. Wie beweise ich daraus, dass M = N ist?

Answer 1

M = N zeigt man normalerweise indem man M⊆N und N⊆M zeigt.

Zu M⊆N:

Es genügt zu zeigen: m∈M ⇒m∈N für jedes m.

Sei m∈M. Dann ist m∈L∪M. Wegen L∪M = L∩N ist dann m∈L∩N, also auch m∈N.

Zu N⊆M:

Versuch mal ob du es selbst schaffts.

Comments

Also, wenn ein Element n∈N ist, dann ist n∈L∪N, und wegen dessen Gleichung mit L∩M, zeigt das dass dieses Element n auch n∈M ist? Ist es dann damit vollständig bewiesen? 

Hätte es geklappt, wenn ich es so getan hätte wie ich anfangs dachte? Dass ich davon ausgehe, dass N=M ist, und dann das N in der Gleichung L∪M = L∩N mit einem M ersetzen, was L∪M = L∩M machen würde. Das gleiche ist dann auch für L∩N = L∪N. Obwohl, diese Gleichung wär nur erfüllt wenn alle 3 Mengen den gleichen Inhalt haben, was wahrscheinlich nicht der korrekte Weg für diese Aufgabe war?

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> Ist es dann damit vollständig bewiesen?

Ja

> Dass ich davon ausgehe, dass N=M ist, ...

Das sieht nach einem Zirkelschluss aus.