82(a^8-a^4) kleinste zweistellige Primzahl für a>1

Question

A) habe ich schon gelöst und zwar

Habe ich erst ausgeklammert und dann mit Hilfe der 3. binomischen Formel gelöst. Nun finde ich b) und c) schwierig formuliert. Soll ich bei c) genauso Vorgehen.

Muss ich bei b einfach ,,nur" die kleinste zweistellige Primzahl finden... Also bei b) habe ich wirklich Probleme...

Allein wenn ihr mir bei b) hilft reicht es schon...

1. a)  Weisen Sie nach, dass es eine natürliche Zahl a > 1 gibt, für die der Term

   82·(a8 −a4 )
   durch das Produkt von drei aufeinanderfolgenden und mindestens zweistelligen natür-

   lichen Zahlen teilbar ist.

2. b)  Bestimmen Sie die kleinste mindestens zweistellige Primzahl a, für die

   82·(a8−a^4)

   durch das Produkt von drei aufeinanderfolgenden und mindestens zweistelligen natür-

   lichen Zahlen teilbar ist.

3. c)  Der obige Term wird jetzt durch 82 · (a8 − a2) ersetzt.
   Bestimmen Sie die kleinste natürliche Zahl a > 1, für die dieser Term durch das Produkt von drei aufeinanderfolgenden und mindestens zweistelligen natürlichen Zahlen teilbar ist. 

Comments

Hi ich mache gerade auch die Olympiade könntest du mir die lösung mit Löswungsweg veraten der 1. aufgabe nämlich a,b wen de hast und ich gebe dir die c,b und die nummer 2 versprochen

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Wo ist da der Sinn? Wenn du die Aufgaben alleine nicht schaffst führt die Teilnahme eh zu nix.

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ich möchte nur eine gute note in mathe bekommen deswegen muss ich einpaar aufgaben richtig haben könntest du mir helfen bitte

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Ich habe schon alles Aufgaben außer die letzte

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Mit einer anderen Aufgabe wäre ich einverstanden...

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Sagt mir bitte jemand die Lösungen von der 1 a,b,c die bekomme ich irgendwie nennt hin

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Warum kann man bei a=3 die Teiler 12,13,14 nehmen

Gibt es da eine sinnvolle Begründung denn eigentlich muss man ja eine Zahl a nehmen und dann hat man ja die Teiler aus a,a-1,a+1

Answer 1

1. b)  Bestimmen Sie die kleinste mindestens zweistellige Primzahl a, für die

   82·(a8−a⁴)

   durch das Produkt von drei aufeinanderfolgenden und mindestens zweistelligen natür-

   lichen Zahlen teilbar ist.

Wenn ich mich nicht verrechnet habe ist doch

82·(a^8−a⁴) = 2*41*a^4 (a-1) (a+1) (a^2 +1)

also enthält der Term die Faktoren a  und  a+1  und a-1.

mit a = 11 hätten wir so eine Primzahl, denn dann ist der

Term sicherlich durch 10  11  und 12 teilbar. Und kleinere

zweistellige Primzahlen als 11 gibt es nicht.

c) der obige Term wird jetzt durch 82 · (a8 − a2) ersetzt.

da bekomme ich

= 2*41*a^2  (a^3-1) (a^3 +1)
= 2*41*a^2 (a-1) (a^2+a+1) (a+1) (a^2 -a+1) 

und hier müsste man wohl auch wieder mit a=11 hinkommen.

Comments

..

Aber warum hast du hast du die 82 nochmal in 2*41...

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Ich dachte man braucht vielleicht eine Übersicht

über alle Faktoren die da drinstecken.

War aber wohl nicht nötig.

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und hier müsste man wohl auch wieder mit a=11 hinkommen.

Nein.

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Nach diesem tiefsinnigen Hinweis müsst man wohl auch noch

kleinere Zahlen als 11 prüfen. Und dann merkt man

für a=3 geht es durch 12; 13 und 14.

Bei a=2 klappt es wohl nicht ???

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Ok...habe trotzdem noch eine Frage an Mathef 2*41*a^4 (a+1) (a-1) (a^2+1) Müsste das nicht anders sein... Und zwar 2*41*a^4 (a^4+1) (a^2-1) Denn 3. binomische Formel... a^2-b^2 ??

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In c) wurde der Term ersetzt.

Bei a=2 klappt es wohl nicht ???

Warum?

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(a^8 − a^4) = a^4 (a^4-1)                      3. binomi
                    = a^4 (a^2-1)(a^2 +1 )          nochmal ! auf (a^2-1) angewandt
                     =a^4 (a-1) (a+1) (a^2 +1 )

bei dir gäbe  (a^4+1) (a^2-1)
                      nicht  (a^4-1)

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Bei a=2 klappt es wohl nicht ???

Warum?

Hab keine Faktoren gefunden.

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Für \(a=2\) hat man in \(\dots(a-1)\cdot a\cdot(a+1)\dots\) doch die Faktoren 1, 2 und 3, oder?

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aber es werden ja mindestens  2-stellige Zahlen gesucht.

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Hm... da hast Du recht. Ich werde also noch mal drüber nachdenken!

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Für a=2 hat man in …(a−1)⋅a⋅(a+1)… doch die Faktoren 1, 2 und 3, oder? 
 Kommentiert vor 9 Stunden von Gast jd1300Müsste es nicht sein: ... (a-1)*a^2*(a+1) ????Weil...(a⁸ − a⁴) = a⁴ (a⁴-1)                                           = a⁴ (a²-1)(a² + 1)
                     =a⁴ (a-1) (a+1) (a² +1 ) 

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@ mathef

Du meintest ja dass die Faktoren (a-1)(a+1) a sind

Aber muss es nicht sein (a-1)(a+1)(a^2+1) ?

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Der Faktor a wurde aus a^4 entnommen.

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soweit habe ich es verstanden...

82(a^8-a^4)=82a^4(a^4-1)=82a^4(a^2-1)(a^2+1)=

82a^4(a-1)(a+1)(a^2+1)

Jetzt hat man doch a^2+1...

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Drück dich doch mal vernünftig aus. Was willst du sagen? Das man Faktoren anordnen kann wie man will sollte bekannt sein. Das mathef sich auch die 3 passenden Faktoren rausgesucht hat sollte auch erkennbar sein.

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siehe oben... 82a^4(a-1)(a+1) (a^2+1)

Wieso hat man die Faktoren a,a+1,a-1

Ich habe doch die Faktoren a^2+1,a-1,a+1

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vorne steht 82a^4 da steckt das a drin.

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Aber trotzdem hat man doch noch ein ,,+1"

Also wie wird das a^2+1 auf einmal zu a

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zu c)Warum geht es bei a=3 durch 12,13,14 ...Ich komm da nicht mit...2x3x4=24 oder habe ich die Aufgabe falsch verstandenBitte helfen