1+y <= exp(y) ist wohl die Voraussetzung, die du aus dem Kurs kennst.
Skizze rot-blau für 1+x und ex
Violett-grün: eure Behauptung
Türkis-orange(?): Umkehrfunktionen von rot und blau:
Graphen von lnx und x-1

Witz von Umkehrfunktionen: entweder man spiegelt an x=y oder man zeichnet das sie auf ein durchsichtiges Papier und kippt die Figur, bis man der lnx aussieht wie ey . Beim Kippen hat man den Vorteil, dass man die Achsen nicht umbenennen muss.
Wenn du y1 = ln(x1) hast, ist nach Definition x1 = ey1 und das für alle x1 > 0.
Deshalb kannst du in deiner Voraussetzung y ersetzen durch ln(x) und ey durch x
Deine Voraussetzung y+1 ≤ ey wird so direkt zu
ln(x) + 1 ≤ x qed.