Wie beweise ich Injektivität von f(x)= (x-1)^2 +2?

Question

f(x)= (x-1)² +2

  ^{Wie beweise ich bei dieser Funktion, dass sie injektiv aber nicht surjektiv ist?}

Answer 1

Indem du uns erstmal Definitions- und Wertebereich verrätst.

Ich frage mich sowieso, warum es so viele Fragen zu Injektivität und Surjektivität einer Funktion gibt, bei denen kein Definitions- oder Wertbereich genannt wird. Hätte man die Begriffe Injektivität und Surjektivität auch nur ansatzweise verstanden, wüsste man, dass das so überhaupt keinen Sinn macht.

Comments

ja tut mir leid, ist mir auch gerade aufgefallen, dass das wichtigste fehlt

Definitionsbereich: (-∞; 1)

Wertebereich: R

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OK, fangen wir mal mit der Injektivität an. Was ist da zu zeigen?

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Nun ja  ich muss zeigen, dass zu jedem y aus dem Wertebereich höchstens ein x des Definitionsbereich vorliegt

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Ja, formal ausgedrückt: Für alle \(x,y\) aus dem Definitionsbereich gilt: Wenn \(f(x)=f(y)\), dann folgt daraus \(x=y\).

Machen wir das hier mal: Seien \(x,y\in(-\infty,1)\).
\(f(x)=f(y)\) bedeutet \((x-1)^2+2=(y-1)^2+2\). Wie kann man daraus \(x=y\) schlussfolgern?

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Indem ich auf beiden Seiten kürze

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Vielleicht meinst du das Richtige, aber Kürzen ist das falsche Wort. Zeig doch einfach mal, was du machen willst.

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$$({ x-1) }^{ 2 }+2={ (y-1) }^{ 2 }+2\quad |-2|\sqrt {  } |+1\\ $$

Daraus folgt x=y

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Beim Wurzelziehen musst du aufpassen: \(\sqrt{a^2}=a\) stimmt nur für nichtnegative Zahlen \(a\). Für beliebige reelle Zahlen gilt \(\sqrt{a^2}=|a|\).

Nach dem Wurzelziehen erhältst du also \(|x-1|=|y-1|\). Jetzt musst du dir überlegen, was mit dem Betrag passiert.

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Der BEtrag gibt ja den Wert einer Zahl wieder, aber ich komm jetzt nicht mehr weiter

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\(x\) und \(y\) sind kleiner als \(1\) (weil der Definitionsbereich \((-\infty, 1)\) war). Ist \(x-1\) bzw. \(y-1\) also positiv oder negativ?
Die Definition des Betrages ist \(|a|:=\begin{cases} a,& \text{ falls } a\geq 0 \\ -a,& \text{ falls } a<0 \end{cases}\) (falls dir das nicht klar ist, kannst du das ja mal für ein paar konkrete Beispiele probieren).
Wenn du also weißt, ob \(x-1\) und \(y-1\) positiv oder negativ sind, kannst du den Betrag auflösen.

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nun eindeutig negativ

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Genau. Und damit kannst du jetzt die Beträge in der Gleichung \(|x-1|=|y-1|\) auflösen und danach weiter umformen.

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so dass letztlich folgt x=y

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Damit hast du die Injektivität gezeigt.

Was bedeutet es nun, dass die Funktion nicht surjektiv ist?

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Dass zu jedem y-Wet mindestens ein x-Wert vorliegt

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Da hast du das kleine Wörtchen "nicht" in meiner Frage überlesen. ;-)

Also: Was du geschrieben hast, bedeutet Surjektivität. Du sollst aber zeigen, dass unsere Funktion nicht surjektiv ist. Also ...?

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verdammt ;)
ich muss zeigen, dass zu einem y-Wert kein x-Wert vorliegt

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Ja. Dann mach mal. :-)