Warum sind die Aussagen äquivalent?

Question

∀ x,y ∈ ℝ_>0 ∃ n ∈ ℕ, so dass gilt:

x <n*y

∀ x ∈ ℝ_>0 ∃ n ∈ ℕ, so dass gilt:

x ≤ n

In meinem Analysis Buch steht das die Aussagen äquivalent sind, ich verstehe aber nicht so wirklich warum und kann entsprechende auch keine Äquivalenz zeigen?

Comments

Welche Richtung bereitet dir Schwierigkeiten?

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Ich verstehe zwar, dass man ein n wählen kann das gleich x ist oder größer, aber meine Problem ist warum sie überhaupt die obere Version hinschreiben. Anscheinend soll die Aussage sein, dass es eine immer größere Zahl n gibt, bzw. das man mit n*y immer eine größere Zahl als x darstellen kann. Beide Terme zeigen also sozusagen die Unendlichtkeit an. Falls ich die Aussagen richtig verstanden habe, weiß ich nicht wie ich eine Äquivalenz zeigen soll, dazu stand nichts im Buch und ich habe es auch noch nie gemacht.....

Answer 1

die 1. Aussage ist: Für jede positive Zahlen \(x\) und \(y\) finde ich ein Vielfaches der positiven Zahl \(y\), welches größer als \(x\) ist.

die 2. Aussage ist: Zu jeder positiven Zahl \(x\) gibt es eine natürliche Zahl \(n\) die größer oder gleich \(x\) ist.

Die Äquivalenz zu zeigen ist nicht sehr aufwendig. Dafür zeigen wir einfach, dass aus Aussage 1 die Aussage 2 folgt und umgekehrt.

A) Aussage 1 \(\Rightarrow\) Aussage 2:

Wähle \(y=1\) und es folgt sofort: \( \forall x \in \mathbb{R}_{>0} \ \exists n \in \mathbb{N} : x <n \Rightarrow x\leq n \).

B) Aussage 2 \(\Rightarrow\) Aussage 1:

Nach der 2. Aussage gilt: \( \forall x,y \in \mathbb{R}_{>0} \exists n' \in \mathbb{N}: \frac{x}{y} \leq n' \). Wähle nun ein beliebige natürliche Zahl \(n > n'\) dann gilt \( \frac{x}{y} < n \) und da \(y >0\) folgt \( x < ny\).

Gruß